Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

жордановой нормальной форме, то A также можно привести к жор-
дановой нормальной форме.
Доказательство. Допустим, что существует такая обратимая
матрица B, что
B
−1
(A − λE)B = J =
J
k
1
(λ
1
) 0 . . . 0
0 J
k
2
(λ
2
) . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . J
k
l
(λ
l
)
Тогда
J = B
−1
(A−λE)B = B
−1
AB−B
−1
(λE)B = B
−1
AB−λB
−1
B = B
−1
AB−λE.
Отсюда получаем B
−1
AB = J +λE. Но матрицу λE можно представить
в виде
λE
k
1
0 . . . 0
0 λE
k
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . λE
k
l
Вспоминая, что J
k
i
+ λE
k
i
= J
k
i
(λ
i
+ λ), получаем равенство:
J + λE =
J
k
1
(λ
1
+ λ) 0 . . . 0
0 J
k
2
(λ
2
+ λ) . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . J
k
l
(λ
l
+ λ)
Справа в этом равенстве стоит матрица, находящаяся в жордановой
нормальной форме.
Из доказательства леммы 2.2.2 следует, что матрица B, приводящая
к жордановой нормальной форме матрицу A − λE, приводит к жорда-
новой нормальной форме и матрицу A. Это также означает, что если у
18
жордановой нормальной форме, то A также можно привести к жор-
дановой нормальной форме.

  Доказательство.           Допустим, что существует такая обратимая
матрица B, что
                                                                                   
                                       Jk1 (λ1 )          0       ...      0
                                                                                   
                                                                                   
          −1                               0          Jk2 (λ2 ) . . .     0        
         B (A − λE)B = J =                 ..             ..              ..       
                                            .              .     ...       .       
                                                                                   
                                            0             0       . . . Jkl (λl )

Тогда

J = B −1 (A−λE)B = B −1 AB−B −1 (λE)B = B −1 AB−λB −1 B = B −1 AB−λE.

Отсюда получаем B −1 AB = J +λE. Но матрицу λE можно представить
в виде                                                       
                            λEk1       0         ...     0
                                                             
                                                             
                            0     λEk2 . . .            0    
                            ..     ..                   ..   
                             .      .   ...              .   
                                                             
                             0         0         . . . λEkl
Вспоминая, что Jki + λEki = Jki (λi + λ), получаем равенство:
                                                                 
                    J (λ + λ)           0      ...         0
                   k1 1                                          
                                                                 
                        0        Jk2 (λ2 + λ) . . .       0      
       J + λE =          .             .                  .      
                         ..            ..      . ..       ..     
                                                                 
                         0              0      . . . Jkl (λl + λ)

Справа в этом равенстве стоит матрица, находящаяся в жордановой
нормальной форме.

  Из доказательства леммы 2.2.2 следует, что матрица B, приводящая
к жордановой нормальной форме матрицу A − λE, приводит к жорда-
новой нормальной форме и матрицу A. Это также означает, что если у

                                           18

Страницы