Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Определение 2.2.4. Пусть A : V → V — линейный оператор. Базис
пространства V называется жордановым базисом для A, если матрица
A в этом базисе является жордановой.
Доказательство существования жордановой нормальной формы для
любой квадратной матрицы над полем комплексных чисел, которое да-
ется ниже, состоит, по сути, именно в обосновании факта существования
жорданова базиса для произвольного линейного оператора. Это делает-
ся в несколько этапов, путем сведения за дачи к частному случаю.
Лемма 2.2.1. Пусть V = U
1
⊕ · · · ⊕ U
l
, где подпространства U
i
инва-
риантны относительно оператора A, и A
i
есть матрица ограничения
A на U
i
, 1 ≤ i ≤ l. Если каждая из матриц A
i
приводится к жорда-
новой нормальной форме, то и матрица A также приводится к жор-
дановой нормальной форме. Если J
i
— жорданова нормальная форма
матрицы A
i
, то жорданова нормальная форма матрицы A имеет вид :
J
1
0 . . . 0
0 J
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . J
l
Доказательство. Выберем базис V , состоящий из объединения
базисов инвариантных подпространств U
1
, . . . , U
l
. Тогда матрицей A в
этом базисе будет матрица
A =
A
1
0 . . . 0
0 A
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . A
l
Допустим, что B
−1
i
A
i
B
i
= J
i
для 1 ≤ i ≤ l. Это равносильно существо-
ванию в каждом из подпространств U
i
жорданова базиса для оператора
16
Определение 2.2.4. Пусть A : V → V — линейный оператор. Базис
пространства V называется жордановым базисом для A, если матрица
A в этом базисе является жордановой.

  Доказательство существования жордановой нормальной формы для
любой квадратной матрицы над полем комплексных чисел, которое да-
ется ниже, состоит, по сути, именно в обосновании факта существования
жорданова базиса для произвольного линейного оператора. Это делает-
ся в несколько этапов, путем сведения задачи к частному случаю.

Лемма 2.2.1. Пусть V = U1 ⊕ · · · ⊕ Ul , где подпространства Ui инва-
риантны относительно оператора A, и Ai есть матрица ограничения
A на Ui , 1 ≤ i ≤ l. Если каждая из матриц Ai приводится к жорда-
новой нормальной форме, то и матрица A также приводится к жор-
дановой нормальной форме. Если Ji — жорданова нормальная форма
матрицы Ai , то жорданова нормальная форма матрицы A имеет вид:
                                        
                          J 0 ... 0
                        1               
                        0 J ... 0 
                             2          
                        . . .           
                        .. ..   . . ... 
                                        
                           0 0 . . . Jl
  Доказательство.        Выберем базис V , состоящий из объединения
базисов инвариантных подпространств U1 , . . . , Ul . Тогда матрицей A в
этом базисе будет матрица
                                                     
                                A1   0    ...    0
                                                     
                                                     
                               0    A2 . . .    0    
                       A=      ..    .. . . .   ..   
                                .     .          .   
                                                     
                                0    0    . . . Al

Допустим, что Bi−1 Ai Bi = Ji для 1 ≤ i ≤ l. Это равносильно существо-
ванию в каждом из подпространств Ui жорданова базиса для оператора

                                     16

Страницы