Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Дополнение 3. Ограничение линейного оператора A−λ
i
E на инва-
риантное подпространство ⊕
j,j̸=i
V (λ
j
) есть невырожденный линейный
оператор.
Доказательство. Достаточно убедиться, что ядро ограничения
A − λ
i
E на ⊕
j,j̸=i
V (λ
j
) равно нулю (см. теорему 1.3.7). Пусть v
j
∈ V (λ
j
),
j ̸= i, и (A − λ
i
E)
j,j̸=i
v
j
= 0. Так как каждое подпространство V (λ
j
)
инвариантно относительно A − λ
i
E, то получаем равенство
j,j̸=i
(A − λ
i
E)v
j
= 0,
в котором каждый вектор (A − λ
i
E)v
j
принадлежит слагаемому V (λ
j
)
прямой суммы ⊕
j,j̸=i
V (λ
j
). По определению прямой суммы это означает,
что (A − λ
i
E)v
j
= 0 для каждого j ̸= i. Таким образом, Av
j
= λ
i
v
j
. Если
бы v
j
̸= 0, то это означало бы, что у ограничения A на V (λ
j
) имеют-
ся два различных собственных значения, λ
i
и λ
j
, а это противоречит
Дополнению 1.
2.2. Существование жордановой нормальной формы
Определение 2.2.1. Жордановой клеткой порядка k, соответствую-
щей собственному значению λ, называется k × k-матрица
J
k
(λ) =
λ 1 0 . . . 0 0
0 λ 1 . . . 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . λ 1
0 0 0 . . . 0 λ
Заметим, что J
k
(λ) + αE
k
= J
k
(λ + α).
14
  Дополнение 3. Ограничение линейного оператора A−λi E на инва-
риантное подпространство ⊕ V (λj ) есть невырожденный линейный
                                       j,j̸=i
оператор.
  Доказательство. Достаточно убедиться, что ядро ограничения
A − λi E на ⊕ V (λj ) равно нулю (см. теорему 1.3.7). Пусть vj ∈ V (λj ),
            j,j̸=i   ∑
j ̸= i, и (A − λi E)   vj = 0. Так как каждое подпространство V (λj )
                         j,j̸=i
инвариантно относительно A − λi E, то получаем равенство
                                  ∑
                                       (A − λi E)vj = 0,
                                  j,j̸=i

в котором каждый вектор (A − λi E)vj принадлежит слагаемому V (λj )
прямой суммы ⊕ V (λj ). По определению прямой суммы это означает,
                j,j̸=i
что (A − λi E)vj = 0 для каждого j ̸= i. Таким образом, Avj = λi vj . Если
бы vj ̸= 0, то это означало бы, что у ограничения A на V (λj ) имеют-
ся два различных собственных значения, λi и λj , а это противоречит
Дополнению 1.



      2.2. Существование жордановой нормальной формы

Определение 2.2.1. Жордановой клеткой порядка k, соответствую-
щей собственному значению λ, называется              k × k-матрица
                                                           
                              λ 1 0 ...               0 0
                                                           
                             0 λ 1 ...               0 0
                                                           
                                                     .. .. 
                   Jk (λ) =  ... ... ... . . .        . . 
                                                           
                             0 0 0 ...              λ 1
                                                           
                              0 0 0 ...               0 λ

Заметим, что Jk (λ) + αEk = Jk (λ + α).


                                                14

Страницы