Лекции по алгебре. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы. Тронин С.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Допустим, что все включения B
i−1
V ⊇ B
i
V при 0 ≤ i ≤ m строгие,
а B
m
V = B
m+1
V . Если B
m
V = {0}, т.е. m = k, то получим строго
убывающую цепочку неравенств:
dim(V ) = n > dim(BV ) > dim(B
2
V ) > . . . > dim(B
k−1
) > dim(B
k
V ) = 0.
Отсюда следует, что k ≤ n. Допустим теперь, что B
m
V = B
m+1
V , и
это подпространство отлично от нуля, так что m + 1 < k. Из того, что
B
m
V ⊆ B
m+1
V следует, что для любого v ∈ V существует w ∈ V та-
кой, что B
m
v = B
m+1
w. Можно выбрать вектор v таким, что B
k−1
v ̸= 0.
Так как m < k − 1, то тем более B
m
v ̸= 0. Применим теперь к левой и
правой частям равенства B
m
v = B
m+1
w оператор B
k−m−1
. Получим ра-
венство B
k−1
v = B
k
w. Слева по предположению стоит ненулевой вектор,
но B
k
w = 0, поскольку k есть степень нильпотентности B. Полученное
противоречие доказывает лемму.
Теорема 2.1.1. Пусть V — векторное пространство над полем дей-
ствительных или комплексных чисел, A : V → V — линейный опера-
тор, и пусть χ
A
= (−1)
n
(x − λ
1
)
n
1
. . . (x − λ
m
)
n
m
, где λ
1
, . . . , λ
m
∈ K —
все собственные значения A. Тогда имеет место разложение в пря-
мую сумму:
V = V (λ
1
) ⊕ · · · ⊕ V (λ
m
).
Заметим, что предположение относительно χ
A
автоматически вы-
полняется в случае, когда K = C — поле комплексных чисел.
Доказательство. Пусть χ
i
(x) =
m
∏
j=1,j̸=i
(x − λ
j
)
n
j
. Тогда
НОД(χ
1
, . . . , χ
m
) = 1, откуда следует, что существуют многочлены
h
1
, . . . , h
m
такие, что
m
∑
i=1
χ
i
(x)h
i
(x) = 1.
9
Допустим, что все включения B i−1 V ⊇ B i V при 0 ≤ i ≤ m строгие,
а B m V = B m+1 V . Если B m V = {0}, т.е. m = k, то получим строго
убывающую цепочку неравенств:

dim(V ) = n > dim(BV ) > dim(B 2 V ) > . . . > dim(B k−1 ) > dim(B k V ) = 0.

Отсюда следует, что k ≤ n. Допустим теперь, что B m V = B m+1 V , и
это подпространство отлично от нуля, так что m + 1 < k. Из того, что
B m V ⊆ B m+1 V следует, что для любого v ∈ V существует w ∈ V та-
кой, что B m v = B m+1 w. Можно выбрать вектор v таким, что B k−1 v ̸= 0.
Так как m < k − 1, то тем более B m v ̸= 0. Применим теперь к левой и
правой частям равенства B m v = B m+1 w оператор B k−m−1 . Получим ра-
венство B k−1 v = B k w. Слева по предположению стоит ненулевой вектор,
но B k w = 0, поскольку k есть степень нильпотентности B. Полученное
противоречие доказывает лемму.

Теорема 2.1.1. Пусть V — векторное пространство над полем дей-
ствительных или комплексных чисел, A : V → V — линейный опера-
тор, и пусть χA = (−1)n (x − λ1 )n1 . . . (x − λm )nm , где λ1 , . . . , λm ∈ K —
все собственные значения A. Тогда имеет место разложение в пря-
мую сумму:
                             V = V (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ V (λm ).

   Заметим, что предположение относительно χA автоматически вы-
полняется в случае, когда K = C — поле комплексных чисел.
                                           ∏m
  Доказательство. Пусть χi (x) =               (x − λj )nj . Тогда
                                                           j=1,j̸=i
НОД(χ1 , . . . , χm ) = 1, откуда следует, что существуют многочлены
h1 , . . . , hm такие, что
                                 ∑
                                 m
                                       χi (x)hi (x) = 1.
                                 i=1



                                            9

Страницы