Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 6 стр.

            1.   oPREDELENIQ OBOZNA^ENIQ PRIMERY
                             ,              ,


   pOLUGRUPPA P ESTX MNOVESTWO WMESTE S ZADANNOJ NA NEM BINARNOJ
OPERACIEJ, TO ESTX OTOBRAVENIEM
                     P P ;! P  (x y) 7! xy
(REZULXTAT PRIMENENIQ KOTOROGO ^ASTO NAZYWAETSQ \UMNOVENIEM"), PRI-
^EM DOLVNO BYTX WYPOLNENO SLEDU@]EE TOVDESTWO ASSOCIATIWNOSTI:
DLQ L@BYH x y z 2 P IMEET MESTO RAWENSTWO (xy)z = x(yz ) . pOLUGRUP-
PA NAZYWEETSQ KOMMUTATIWNOJ, ESLI DLQ WSEH x y 2 P IMEET MESTO
RAWENSTWO xy = yx . |LEMENT e 2 P NAZYWAETSQ NEJTRALXNYM \LE-
MENTOM POLUGRUPPY, ESLI DLQ L@BOGO x 2 P IME@T MESTO RAWENSTWA
xe = ex = x . nEJTRALXNYJ \LEMENT ^ASTO NAZYWA@T EDINICEJ POLU-
GRUPPY I ISPOLXZU@T DLQ NEGO SOOTWETSTWU@]EE OBOZNA^ENIE: e = 1 .
pOLUGRUPPA S EDINICEJ NAZYWAETSQ TAKVE MONOIDOM.
   uBEDIMSQ, ^TO W POLUGRUPPE MOVET BYTX NE BOLEE ODNOGO NEJTRALXNO-
GO \LEMENTA. dOPUSTIM, ^TO IH DWA. nAPRIMER, e1 I e2 . tOGDA \LEMENT
e1e2 DOLVEN BYTX RAWNYM e2 , TAK KAK e1 NEJTRALXNYJ \LEMENT. nO
TOT VE e1e2 DOLVEN BYTX RAWNYM I e1 , TAK KAK e2 TOVE NEJTRALXNYJ
\LEMENT. sLEDOWATELXNO, e1 = e2 .
   rEZULXTAT BINARNOJ OPERACII P P ;! P , WOOB]E GOWORQ, MOVNO
OBOZNA^ATX SAMYM PROIZWOLXNYM OBRAZOM. zAPISX W WIDE (x y) 7! xy
NAZYWA@T MULXTIPLIKATIWNOJ. kROME NEE, ^ASTO ISPOLXZUETSQ TAK NA-
ZYWAEMAQ ADDITIWNAQ ZAPISX (x y) 7! x + y (OPERACIQ \SLOVENIQ"), DLQ
KOTOROJ TOVDESTWO ASSOCIATIWNOSTI WYGLQDIT TAK:
                       (x + y) + z = x + (y + z )
A NEJTRALXNYJ \LEMENT NAZYWAETSQ NULEM, I OBOZNA^AETSQ SOOTWETSTWEN-
NO KAK 0 . ~A]E WSEGO ADDITIWNYE OBOZNA^ENIQ ISPOLXZU@TSQ DLQ KOM-
MUTATIWNYH POLUGRUPP, TO ESTX KOGDA x + y = y + x . dALEE W TEKSTE
                                  6