Введение в универсальную и категорную алгебру - 10 стр.

                        
\TO PODSTANOWKA 11 22 :::::: nn , TO ESTX EDINI^NAQ FUNKCIQ. w GRUPPE Sn
SODERVITSQ n! \LEMENTOW.
   pRIMER 2.3 . gRUPPA WSEH OBRATIMYH n n -MATRIC NAD KOLXCOM R
OBOZNA^AETSQ ^EREZ GLn(R) ( ILI GL(n R) ) I NAZYWAETSQ OB]EJ LI-
NEJNOJ GRUPPOJ STEPENI n NAD KOLXCOM R . sU]ESTWUET IN_EKTIWNYJ
GOMOMORFIZM m : Sn ! GLn(Z) , KOTORYJ STROITSQ SLEDU@]IM OBRA-
ZOM. oBOZNA^IM ^EREZ Ei j MATRI^NU@ EDINICU n -GO PORQDKA, TO ESTX
MATRICU, U KOTOROJ i j -Q KOMPONENTA RAWNA EDINICE, A WSE OSTALXNYE
| NUL@. tOGDA Ei j Ek l = j k Ei l , i=1 Pn E = E ,GDE E | EDINI^NAQ
                                              ii   n      n
n n -MATRICA. pOLOVIM
                                      n
                                      X
                             m() =         E(j) j :
                                      j=1
tOGDA m | IN_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM GRUPP. mATRICA m() NAZY-
WAETSQ MATRICEJ PODSTANOWKI  .
  pUSTX G | GRUPPA, X Y  G | PODMNOVESTWA G . ~EREZ XY PRI-
NQTO OBOZNA^ATX PODMNOVESTWO f xy j x 2 X y 2 Y g . eSLI DAN \LEMENT
x 2 G I PODGRUPPA H  G , TO MNOVESTWO xH = f xh j h 2 H g
NAZYWAETSQ LEWYM SMEVNYM KLASSOM G PO H S PREDSTAWITELEM x , A
Hx = f hx j h 2 H g | PRAWYM SMEVNYM KLASSOM G PO H S PRED-
STAWITELEM x . sU]ESTWU@T WZAIMNO-ODNOZNA^NYE SOOTWETSTWIQ MEVDU
MNOVESTWAMI H I xH , H I Hx , ZADAWAEMYE TAK : h ! xh , y ! x 1y    ;




DLQ h 2 H , y 2 xH , I h ! hx , y ! yx 1 DLQ h 2 H , y 2 Hx . w
                                                   ;




^ASTNOSTI, \TI MNOVESTWA RAWNOMO]NY. mO]NOSTX MNOVESTWA X BU-
DEM OBOZNA^ATX ^EREZ jX j . nAPOMNIM, ^TO ESLI X KONE^NO, TO MO]-
NOSTX X | \TO KOLI^ESTWO \LEMENTOW W X . mO]NOSTX jGj GRUPPY G
NAZYWAETSQ PORQDKOM GRUPPY.
tEOREMA         (1) dWA SMEVNYH KLASSA xH I yH LIBO NE PERESE-
             2.1.

    KA@TSQ, LIBO SOWPADA@T. xH = yH TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI
                                      10