Введение в универсальную и категорную алгебру - 8 стр.

MNOVESTWA X .
   pRIMER 1.3 .  mNOVESTWO KOMMUTATIWNYH MONOMOW ( ODNO^LENOW ) OT
KOMMUTIRU@]IH PEREMENNYH IZ MNOVESTWA X TAKVE OBRAZU@T POLU-
GRUPPU, KOTORAQ BUDET OBOZNA^ATXSQ FCP (X ) , I NAZYWAETSQ SWOBODNOJ
KOMMUTATIWNOJ POLUGRUPPOJ S BAZISOM X . |TA POLUGRUPPA KOMMUTA-
TIWNA, NO DLQ NEE ISPOLXZUETSQ MULXTIPLIKATIWNAQ ZAPISX OPERACII
UMNOVENIQ. oSNOWNOE SWOJSTWO SWOBODNYH KOMMUTATIWNYH POLUGRUPP:
ESLI DANO OTOBRAVENIE ' : X ! P MNOVESTWA X W KOMMUTATIWNU@ PO-
LUGRUPPU P , TO SU]ESTWUET, PRITOM TOLXKO ODIN, GOMOMORFIZM POLU-
GRUPP f : FCP (X ) ! P , TAKOJ, ^TO f (x) = '(x) DLQ WSEH x 2 X . qW-
NYJ WID GOMOMORFIZMA f : f (x1 x2 : : : xn) = '(x1 )'(x2) : : : '(xn ) , f (1) =
1 PO POSTROENI@.
                                 2.   gRUPPY    .


  oPREDELENIE         gRUPPA G | \TO POLUGRUPPA S EDINICEJ, W KOTO-
                    2.1.

ROJ DLQ KAVDOGO x 2 G SU]ESTWUET (EDINSTWENNYJ) y 2 G , TAKOJ, ^TO
xy = yx = 1 . |LEMENT y NAZYWAETSQ OBRATNYM K \LEMENTU x , I OBOZNA-
^AETSQ x 1 . w ADDITIWNOJ ZAPISI OBRATNYJ \LEMENT OBOZNA^AETSQ KAK
          ;




;x , PRI \TOM ISPOLXZUETSQ TAKVE OBOZNA^ENIE: a ; b = a + (;b) . kOM-
MUTATIWNYE GRUPPY ^ASTO NAZYWA@TSQ ABELEWYMI. w ABELEWYH GRUPPAH
^A]E WSEGO ISPOLXZUETSQ ADDITIWNAQ FORMA ZAPISI OPERACII.
   oTMETIM, ^TO (x 1 ) 1 = x (xy) 1 = y 1 x 1 .
                      ;    ;           ;        ;   ;




   oPREDELENIQ, DANNYE WYE DLQ POLUGRUPP, PREWRA]A@TSQ W OPREDE-
LENIQ DLQ GRUPP POSLE DOBAWLENIQ SWOJSTW, SWQZANNYH S WZQTIEM OBRAT-
NYH \LEMENTOW. tAK, GOMOMORFIZM GRUPP h : G ! D ESTX GOMOMORFIZM
POLUGRUPP S EDINICEJ, TAKOJ, ^TO h(x 1 ) = h(x) 1 . zAMETIM, WPRO^EM,
                                            ;           ;




^TO \TO SWOJSTWO MOVNO WYWESTI, ISPOLXZUQ OPREDELENIE GRUPPY. pOD-
GRUPPA G GRUPPY G | \TO TAKAQ PODPOLUGRUPPA, ^TO ESLI x 2 G ,
           0                                                                  0




                                        8