Введение в универсальную и категорную алгебру - 6 стр.

SNOWA QWLQETSQ PODPOLUGRUPPOJ.
    pUSTX X ESTX PODMNOVESTWO POLUGRUPPY P . sU]ESTWUET NAIMENX-
AQ PODPOLUGRUPPA P , SODERVA]AQ X . oNA OBOZNA^AETSQ ^EREZ hX i ,
I NAZYWAETSQ PODPOLUGRUPPOJ, POROVDENNOJ MNOVESTWOM X . eSLI VE
P = hX i , TO GOWORQT, ^TO X ESTX MNOVESTWO OBRAZU@]IH DLQ P .
 0                                                                         0




sLOWO \NAIMENXAQ" OZNA^AET, ^TO ESLI P  P | PODPOLUGRUPPA,
                                                    0




I X  P , TO hX i  P . w KA^ESTWE hX i MOVNO WZQTX PERESE^ENIE
                               0




NEPUSTOGO SEMEJSTWA WSEH PODPOLUGRUPP, SODERVA]IH X . nEPUSTO ONO
POTOMU, ^TO SODERVIT SAMU P . bOLEE QWNOE POSTROENIE TAKOWO: hX i =
f x1x2 : : : xn j xi 2 X 1  i  n n  0 g . pRI n = 0 SOOTWETSTWU@-
]IJ \LEMENT ESTX EDINICA POLUGRUPPY P . tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO
hX i SOSTOIT IZ WSEWOZMOVNYH PROIZWEDENIJ KOMPONENTOW WSEWOZMOV-
NYH KONE^NYH ( UPORQDO^ENNYH) POSLEDOWATELXNOSTEJ \LEMENTOW IZ X .
iNOGDA O NIH GOWORQT (NESKOLXKO OTKLONQQSX OT STROGOSTI) KAK O SLOWAH
W ALFAWITE X ( SM. NIVE PRIMER 2.).
    pUSTX DANO PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO POLUGRUPP f Pi j i 2 I g . iH
PRQMOE ( ILI DEKARTOWO ) PROIZWEDENIE , OBOZNA^AEMOE iQI Pi , STROITSQ
SLEDU@]IM OBRAZOM: \TO MNOVESTWO SEMEJSTW \LEMENTOW f xi j i 2 I xi 2
                                                                  2




Pi g (TO^NEE, MNOVESTWO WSEH FUNKCIJ WIDA ' : I ! iSI Pi , TAKIH, ^TO
xi = '(i) 2 Pi . pROIZWEDENIE SEMEJSTW f xi j i 2 I xi 2 Pi g I f yi j i 2
                                                              2




I yi 2 Pi g OPREDELQETSQ \POKOMPONENTNO" | KAK SEMEJSTWO f xi yi j i 2
I g . sEMEJSTWO EDINIC WSEH POLUGRUPP SEMEJSTWA f 1Pi j i 2 I g ESTX
EDINICA PRQMOGO PROIZWEDENIQ. oTOBRAVENIQ PROEKCII
              Y
       j :         Pi ;! Pj  f xi j i 2 I xi 2 Pi g 7! xj = j (fxig)
              i I
              2



QWLQ@TSQ GOMOMORFIZMAMI POLUGRUPP. eSLI MNOVESTWO I = f 1 2 : : : n g
KONE^NO, TO PROIZWEDENIE OBOZNA^AETSQ TAK: P1 P2 : : : Pn .
   pRIMER 1.1 . rASSMOTRIM L@BOE MNOVESTWO X , I PUSTX P ESTX

                                          6