Введение в универсальную и категорную алгебру - 4 стр.

            ~astx I. klassi~eskaq algebra

                         1.   pOLUGRUPPY   .



  oPREDELENIE     1.1.pOLUGRUPPA P ESTX MNOVESTWO WMESTE S ZADAN-
NOJ NA NEM BINARNOJ OPERACIEJ , TO ESTX OTOBRAVENIEM
                    P P ;! P  (x y) 7! xy
(REZULXTAT PRIMENENIQ KOTOROGO ^ASTO NAZYWAETSQ \UMNOVENIEM"), PRI-
^EM DOLVNO BYTX WYPOLNENO SLEDU@]EE TOVDESTWO ASSOCIATIWNOSTI:
DLQ L@BYH x y z 2 P IMEET MESTO RAWENSTWO (xy)z = x(yz ) . pOLU-
GRUPPA NAZYWEETSQ KOMMUTATIWNOJ, ESLI DLQ WSEH x y 2 P IMEET MESTO
RAWENSTWO xy = yx . |LEMENT e 2 P NAZYWAETSQ NEJTRALXNYM \LE-
MENTOM POLUGRUPPY, ESLI DLQ L@BOGO x 2 P IME@T MESTO RAWENSTWA
xe = ex = x . nEJTRALXNYJ \LEMENT ^ASTO NAZYWA@T EDINICEJ POLU-
GRUPPY I ISPOLXZU@T DLQ NEGO SOOTWETSTWU@]EE OBOZNA^ENIE: e = 1 .
pOLUGRUPPA S EDINICEJ NAZYWAETSQ TAKVE MONOIDOM. lEGKO UBEDITXSQ,
^TO W POLUGRUPPE MOVET BYTX NE BOLEE ODNOGO NEJTRALXNOGO \LEMENTA.
   rEZULXTAT BINARNOJ OPERACII P P ;! P , WOOB]E GOWORQ, MOVNO
OBOZNA^ATX SAMYM PROIZWOLXNYM OBRAZOM. zAPISX W WIDE (x y) 7! xy
NAZYWA@T MULXTIPLIKATIWNOJ. kROME NEE, ^ASTO ISPOLXZUETSQ TAK NA-
ZYWAEMAQ ADDITIWNAQ ZAPISX (x y) 7! x + y (OPERACIQ \SLOVENIQ"),
DLQ KOTOROJ TOVDESTWO ASSOCIATIWNOSTI WYGLQDIT TAK : (x + y) + z =
x + (y + z ) , A NEJTRALXNYJ \LEMENT NAZYWAETSQ NULEM, I OBOZNA^AETSQ
SOOTWETSTWENNO KAK 0 . ~A]E WSEGO ADDITIWNYE OBOZNA^ENIQ ISPOLXZU-
@TSQ DLQ KOMMUTATIWNYH POLUGRUPP, TO ESTX KOGDA x + y = y + x . dALEE
W TEKSTE MNOGIE OPREDELENIQ I FAKTY FORMULIRU@TSQ TOLXKO W MULX-
TIPLIKATIWNOJ ZAPISI. pODRAZUMEWAETSQ, ^TO W SLU^AE NEOBHODIMOSTI
^ITATELX SMOVET SAM PEREJTI K DRUGOJ FORME OBOZNA^ENIJ.
                                  4