Введение в универсальную и категорную алгебру - 7 стр.

MNOVESTWO WSEH OTOBRAVENIJ IZ X W X . oPREDELIM NA P BINARNU@
OPERACI@ KAK WZQTIE KOMPOZICII OTOBRAVENIJ. tO^NEE, ESLI f1 f2 2 P ,
TO REZULXTAT UMNOVENIQ f1f2 ESTX KOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ X ;!                    f2
X ;!f1 X . tAK KAK KOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ ASSOCIATIWNA, TO P PRE-
WRA]AETSQ W POLUGRUPPU, EDINICEJ KOTOROJ QWLQETSQ TOVDESTWENNOE
OTOBRAVENIE 1X . eSLI MNOVESTWO X SAMO QWLQETSQ POLUGRUPPOJ,TO
TO^NO TAKIM VE OBRAZOM PREWRA]AETSQ W POLUGRUPPU MNOVESTWO WSEH
GOMOMORFIZMOW IZ X W X .
    pRIMER 1.2 . sWOBODNAQ ASSOCIATIWNAQ POLUGRUPPA FP (X ) S BAZI-
SOM X STROITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. mNOVESTWO FP (X ) ESTX MNOVES-
TWO WSEWOZMOVNYH KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ WIDA (x1  x2 : : : xn) ,
xi 2 X , 1  i  n , n  0 . \uMNOVENIE" DWUH TAKIH POSLEDOWATELXNOS-
TEJ a = (x1 x2 : : :  xn) I b = (y1  y2 : : :  ym) ESTX PRIPISYWANIE IH DRUG
K DRUGU : ab = (x1 x2 : : : xn y1 y2 : : : ym ) . qSNO, ^TO \TA OPERACIQ AS-
SOCIATIWNA. rOLX NEJTRALXNOGO \LEMENTA ( EDINICY ) IGRAET WWODIMAQ
FORMALXNO POSLEDOWATELXNOSTX NULEWOJ DLINY ( PUSTAQ ), PRIPISYWA-
NIE KOTOROJ SLEWA ILI SPRAWA K L@BOJ DRUGOJ NI^EGO NE MENQET. bOLEE
TRADICIONNAQ FORMA ZAPISI: (x1  x2 : : :  xn) = x1x2 : : :xn , ^TO MOVNO
NAZWATX STROKOJ, ILI SLOWOM W ALFAWITE X . dOSTATO^NO RASPROSTRA-
NENO OBOZNA^ENIE FP (X ) = X : MNOVESTWO WSEH SLOW W ALFAWITE X .
                                   




oSNOWNOE SWOJSTWO SWOBODNYH POLUGRUPP: ESLI DANO OTOBRAVENIE ' :
X ! P MNOVESTWA X W POLUGRUPPU P , TO SU]ESTWUET, PRITOM TOLXKO
ODIN, GOMOMORFIZM POLUGRUPP f : FP (X ) ! P , TAKOJ, ^TO f (x) = '(x)
DLQ WSEH x 2 X . zDESX PODRAZUMEWAETSQ, ^TO \LEMENTY x 2 X QWLQ@TSQ
TAKVE I \LEMENTAMI FP (X ) , KAK POSLEDOWATELXNOSTI DLINY 1. qWNYJ
WID GOMOMORFIZMA f : f (x1 x2 : : :xn ) = '(x1)'(x2 ) : : : '(xn) , f (1) = 1
PO POSTROENI@. |LEMENTY FP (X ) MOVNO MYSLITX SEBE KAK NEKOMMU-
TATIWNYE ODNO^LENY (MONOMY ) OT NEKOMMUTIRU@]IH PEREMENNYH IZ
                                        7