Введение в универсальную и категорную алгебру - 9 стр.

TO I x 1 2 G , TAK ^TO WLOVENIE G  G ESTX GOMOMORFIZM GRUPP.
       ;       0                        0




pROIZWEDENIE GRUPP iQI Gi | \TO PROIZWEDENIE POLUGRUPP, W KOTOROM
OPREDELENA OPERACIQ WZQTIQ OBRATNOGO \LEMENTA : f xi j i 2 I g 1 =
                           2
                                                                     ;




f xi 1 j i 2 I g , KOTORAQ PREWRA]AET \TO MNOVESTWO W GRUPPU.
   ;




   eSLI X ESTX PODMNOVESTWO GRUPPY G , TO PODGRUPPA hX i , POROV-
DENNAQ X , ESTX NAIMENXAQ PODGRUPPA W G , SODERVA]AQ X . qWNOE
POSTROENIE TAKOWO:
         hX i = f x"i x"i : : :x"inn j xik 2 X "k = 1 n  0 1  k  n g:
                   1
                   1
                       2
                       2

kAK OBY^NO, ESLI hX i = G , TO GOWORQT, ^TO X POROVDAET G , ILI ^TO
X ESTX MNOVESTWO OBRAZU@]IH GRUPPY G .
    pRIMER 2.1 . cIKLI^ESKIE GRUPPY | \TO GRUPPY, U KOTORYH SU-
]ESTWUET MNOVESTWO OBRAZU@]IH, SOSTOQ]EE IZ ODNOGO \LEMENTA. eSLI
G = hxi , TO G = f xn j n = 0 1 2 : : : g . wOZMOVNY DWA SLU^AQ. lIBO
G = Z , GDE Z | GRUPPA WSEH CELYH ^ISEL S OPERACIEJ SLOVENIQ (
ADDITIWNAQ FORMA ZAPISI ). pRI \TOM \LEMENTU xn SOOTWETSTWUET CE-
LOE ^ISLO n . w \TOM SLU^AE G NAZYWAETSQ BESKONE^NOJ CIKLI^ESKOJ
GRUPPOJ. w NEJ xk = xm TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI k = m . lIBO, ESLI
CIKLI^ESKAQ GRUPPA KONE^NA I SOSTOIT IZ n \LEMENTOW, G = Un , GDE
Un = f z 2 C j z = 1 g | GRUPPA KORNEJ n -J STEPENI IZ EDINICY. pRI
                    n
\TOM x SOOTWETSTWUET KAKOMU-TO PERWOOBRAZNOMU KORN@ IZ EDINICY.
kAVDAQ PODGRUPPA CIKLI^ESKOJ GRUPPY | SNOWA CIKLI^ESKAQ GRUPPA.
    pRIMER 2.2 . sIMMETRI^ESKAQ GRUPPA n -J STEPENI Sn ( ILI GRUP-
PA PODSTANOWOK n -J STEPENI ) | \TO MNOVESTWO WSEH BIEKTIWNYH OTO-
BRAVENIJ IZ MNOVESTWA n] = f 1 2 : : : n g W \TO VE MNOVESTWO. eS-
LI  : n] ! n] ,  2 Sn , TO \TABLI^NAQ" FORMA ZAPISI  ESTX
             2 ::: n . uMNOVENIE PODSTANOWOK | \TO KOMPOZICIQ FUNK-
 = (1)1 (2):::(n)
CIJ ( KOTORAQ ASSOCIATIWNA ): ( )(i) = ( (i)) . oBRATNAQ PODSTANOWKA
| \TO OBRATNOE K BIEKTIWNOMU OTOBRAVENI@. eDINICA GRUPPY Sn |
                                    9