Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 16 стр.

| \TO SEMEJSTWO OTOBRAVENIJ WIDA fs : Xs ! Ys , s 2 S . kOMPOZICIQ
MORFIZMOW f : X ;! Y I g : Y ;! Z OPREDELQETSQ POKOMPONENTNO:
\TO SEMEJSTWO gsfs : Xs ! Zs KOMPOZICIJ OTOBRAVENIJ fs : Xs ! Ys ,
gs : Ys ! Zs . oB_EKTY IZ S - Sets NAZYWA@TSQ TAKVE MNOGOOSNOWNY-
MI (ILI MNOGOSORTNYMI) MNOVESTWAMI.
   pROWERKA SWOJSTW KATEGORII DLQ S - Sets | \TO LEGKOE UPRAVNE-
NIE. w SLU^AE, KOGDA S SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA, S -GRADUIROWANNYE
MNOVESTWA (ODNOOSNOWNYE ILI ODNOSORTNYE MNOVESTWA) | \TO "OBY^-
NYE" MNOVESTWA. w OB]EM SLU^AE MOVNO PREDSTAWLQTX SEBE S -GRADU-
IROWANNOE MNOVESTWO KAK SWOEGO RODA "WEKTOR", KOMPONENTY KOTO-
ROGO SNABVENY INDEKSAMI IZ S . mNOGIE OPERACII NAD GRADUIRO-
WANNYMI MNOVESTWAMI (NAPRIMER, WKL@^ENIE, OB_EDINENIE, PERESE-
^ENIE, PROIZWEDENIE) PROIZWODQTSQ POKOMPONENTNO. nAPRIMER, ESLI
X = fXsjs 2 Sg I Y = fYsjs 2 Sg , TO X  Y BUDET OZNA^ATX, ^TO
Xs  Ys DLQ WSEH s 2 S . eSLI IMEETSQ SEMEJSTWO Xi , i 2 I , PRI^EM
Xi = f(Xi)s = Xisjs 2 Sg I Xi  Y DLQ WSEH i 2 I , TO POD PERESE^E-
NIEM i\2I Xi PONIMAETSQ GRADUIROWANNOE MNOVESTWO fi\2I Xisjs 2 S g .
   pUSTX DAN MORFIZM GRADUIROWANNYH MNOVESTW f : X ;! Y S KOM-
PONENTAMI fs : Xs ;! Ys , s 2 S . bUDEM NAZYWATX EGO IN_EKTIWNYM,
ESLI DLQ KAVDOGO s 2 S OTOBRAVENIE fs QWLQETSQ IN_EKTIWNYM, I
S@R_EKTIWNYM, ESLI WSE fs S@R_EKTIWNY. pOD f (X) BUDEM PONIMATX
GRADUIROWANNOE PODMNOVESTWO ffs(Xs )js 2 S g GRADUIROWANNOGO MNO-
VESTWA Y . lEGKO POKAZATX, ^TO IN_EKTIWNYE MORFIZMY W S -Sets |
\TO W TO^NOSTI KATEGORNYE MONOMORFIZMY, A S@R_EKTIWNYE | \TO
KATEGORNYE \PIMORFIZMY.
   uSLOWIMSQ, ^TO KAVDYJ RAZ, KOGDA BUDET POQWLQTXSQ GRADUIROWAN-
NOE MNOVESTWO, OBOZNA^AEMOE, NAPRIMER, KAK X (POLUVIRNYJ RIFT),
EGO KOMPONENTY BUDUT OBOZNA^ATXSQ LIBO ^EREZ Xs (TA VE BUKWA,
NO RIFT OBY^NYJ), LIBO (INOGDA) ^EREZ Xs . eSLI VE DAN MOR-
FIZM GRADUIROWANNYH MNOVESTW f : X ;! Y (OBOZNA^ENIE POLU-
VIRNYM RIFTOM WSEGDA BUDET ISPOLXZOWATXSQ TOLXKO DLQ GRADU-
IROWANNYH MNOVESTW I MORFIZMOW MEVDU NIMI), TO ^EREZ fs (TA
VE BUKWA, NO RIFT OBY^NYJ) BUDUT OBOZNA^ATXSQ EGO KOMPONENTY.
wREMQ OT WREMENI MY BUDEM ISPOLXZOWATX DLQ OBOZNA^ENIQ MORFIZ-
MOW GRADUIROWANNYH MNOVESTW I NE POLUVIRNYJ RIFT, NAPRIMER,
' : X ;! Y . w \TOM SLU^AE KOMPONENTY ' BUDUT OBOZNA^ATXSQ ^EREZ
                                16