Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 14 стр.

  pRODELAEM SLEDU@]IE WYKLADKI.
    U (F2(f )'(X ))1(X ) = U (F2(f ))U ('(X ))1(X ) =
    = U (F2(f ))2 (X ) = 2(Y )f:
    U ('(Y )F1(f ))1 (X ) = U ('(Y ))U (F1 (f ))1 (X ) =
    = U ('(Y ))1(Y )f = 2(Y )f:
    oTS@DA SLEDUET, ^TO U (F2(f )'(X ))1 (X ) = U ('(Y )F1(f ))1 (X ) .
wWIDU USLOWIQ EDINSTWENNOSTI W OPREDELENII SOPRQVENNOGO FUNKTO-
RA POLU^AEM RAWENSTWO F2(f )'(X ) = '(Y )F1 (f ) , KOTOROE I OZNA^AET,
^TO ' | ESTESTWENNOE PREOBRAZOWANIE. aNALOGI^NYM OBRAZOM DOKA-
ZYWAETSQ ESTESTWENNOSTX . tEOREMA DOKAZANA.
    oPREDELENIE 1.8. pUSTX DANA KATEGORIQ K I SEMEJSTWO EE OB_-
EKTOW Xi , i 2 I , GDE I | NEKOTOROE MNOVESTWO INDEKSOW. pRQMYM
PROIZWEDENIEM SEMEJSTWA Xi W KATEGORII K NAZYWAETSQ OB_EKT X
WMESTE S SEMEJSTWOM MORFIZMOW pi : X ! Xi , i 2 I , OBLADA@]IH
SLEDU@]IM SWOJSTWOM. eSLI DAN L@BOJ OB_EKT Y I L@BOE SEMEJSTWO
MORFIZMOW i : Y ! Xi , TO SU]ESTWUET, PRITOM TOLXKO ODIN, MOR-
FIZM : Y ! X , TAKOJ, ^TO DLQ WSEH i 2 I IMEET MESTO RAWENSTWO:
pi = i . mORFIZM pi PRINQTO NAZYWATX PROEKCIEJ NA MNOVITELX
Xi . eSLI PRQMOE PROIZWEDENIE SU]ESTWUET DLQ L@BOGO SEMEJSTWA OB_-
EKTOW, TO GOWORQT, ^TO KATEGORIQ K OBLADAET PRQMYMI PROIZWEDENI-
QMI.
 Q pRQMOE        PROIZWEDENIE SEMEJSTWA Xi PRINQTO OBOZNA^ATX TAK: X =
    Xi . eSLI MNOVESTWO I KONE^NO, NAPRIMER, I = f1 2 : : : n g, TO
i2I
UPOTREBLQETSQ TAKVE OBOZNA^ENIE X = X1  : : :  Xn .
    pRQMOE PROIZWEDENIE (ESLI ONO SU]ESTWUET) OPREDELENO S TO^NOS-
TX@ DO IZOMORFIZMA. tO^NAQ FORMULIROWKA TAKOWA. pUSTX (X 0 fp0igi2I )
I (X 00  fp00i gi2I ) UDOWLETWORQ@T OPREDELENI@ PRQMOGO PROIZWEDENIQ SE-
MEJSTWA Xi . tOGDA SU]ESTWUET, PRITOM TOLXKO ODIN, IZOMORFIZM
' : X 0 ! X 00 , TAKOJ, ^TO p00i ' = p0i DLQ WSEH i 2 I . ~TOBY UBE-
DITXSQ W \TOM, NADO NESKOLXKO RAZ PRIMENITX OPREDELENIE PRQMOGO
PROIZWEDENIQ. sNA^ALA W KA^ESTWE X BERETSQ X 0 , W KA^ESTWE Y |
OB_EKT X 00 , A W KA^ESTWE i | MORFIZMY p00i . tOGDA NAJDETSQ EDIN-
STWENNYJ 00 : X 00 ! X 0 , TAKOJ, ^TO DLQ WSEH i 2 I IME@T MESTO
RAWENSTWA p0i 00 = p00i . mENQQ MESTAMI X 0 I X 00 , TO^NO TAK VE NA-
HODIM 0 : X 0 ! X 00 , TAKOJ ^TO p00i 0 = p0i WSEH i 2 I . rASSMOTRIM
KOMPOZICI@ 00 0 : X 0 ! X 0 . tOGDA p0i( 00 0 ) = (p0i 00 ) 0 = p00i 0 = p0i
                                    14