Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 13 стр.

W A , ZNA^ENIQ KOTOROGO NA \LEMENTAH g 2 G  K G] SOWPADA@T S
f (g) . pRAWYJ SOPRQVENNYJ DLQ FUNKTORA WZQTIQ GRUPPOWOJ ALGEBRY
| FUNKTOR, SOPOSTAWLQ@]IJ ALGEBRE A GRUPPU U (A) OBRATIMYH PO
UMNOVENI@ \LEMENTOW A .
   wAVNYJ KLASS PRIMEROW SOPRQVENNYH FUNKTOROW BUDET RASSMOT-
REN W POSLEDNEM PARAGRAFE.
tEOREMA 1.1. dLQ DANNOGO FUNKTORA U : C ;! K SOPRQVENNYJ K
NEMU SLEWA FUNKTOR F : K ;! C OPREDELN ODNOZNA^NO S TO^NOSTX@
DO ESTESTWENNOGO IZOMORFIZMA.
 dOKAZATELXSTWO. pUSTX IME@TSQ DWA FUNKTORA, F1 I F2 , SOPRQ-
VENNYE SLEWA K FUNKTORU U , I PUSTX i : Id ! UFi , i = 1 2 | SOOT-
WETSTWU@]IE ESTESTWENNYE PREOBRAZOWANIQ IZ OPREDELENIQ. wOZXMEM
W OPREDELENII F = F1 , B = F (A) ,  = 2(A) . tOGDA SU]ESTWUET
EDINSTWENNYJ MORFIZM '(A) : F1(A) ! F2(A) TAKOJ, ^TO KOMMUTA-
TIWNA DIAGRAMMA:
                         A ;! 1(A)
                                     U (F1(A))
                               & 2(A) # U ('(A))
                                     U (F2(A)))
iNYMI SLOWAMI, U ('(A))1(A) = 2(A) . mENQQ MESTAMI F1 I F2 , IZ
TEH VE SOOBRAVENIJ POLU^AEM EDINSTWENNYJ MORFIZM (A) : F2(A) !
F1(A) , DLQ KOTOROGO U ( (A))2(A) = 1(A) . iZ \TOGO SLEDUET, ^TO WY-
POLNENY RAWENSTWA U ( (A)'(A))1 (A) = 1(A) I U ('(A) (A))2(A) =
2(A) . nO TOGDA (A)'(A) = 1F (A) I '(A) (A) = 1F (A) . pOKAVEM TE-
                                 1                     2
PERX, ^TO ' I | ESTESTWENNYE PREOBRAZOWANIQ. pUSTX f : X ! Y
| MORFIZM KATEGORII K . rASSMOTRIM DIAGRAMMY:
    X ;!1 (X )
                UF1(X ) U (;!
                            '(X )) UF (X )
                                       2           X   ;!
                                                         2 (X )
                                                                UF2(X )
    #f            # UF1(f )            # UF2(f ) # f              # UF2(f )
    Y ;!1 (Y )
                UF1(Y ) U (;!
                            '(Y )) UF (Y )
                                        2          Y ;! 2(Y )
                                                                UF2(Y )
tAK KAK 1 I 2 | ESTESTWENNYE PREOBRAZOWANIQ, TO LEWYJ KWADRAT
LEWOJ DIAGRAMMY I PRAWAQ DIAGRAMMA KOMMUTATIWNY. kROME TOGO,
PO OPREDELENI@ ' , IME@T MESTO RAWENSTWA
   U ('(X ))1(X ) = 2(X ) , U ('(Y ))1(Y ) = 2(Y ) .
                                     13