Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 27 стр.

SALXNOE SWOJSTWO:
tEOREMA 2.1. dLQ L@BOJ  -ALGEBRY A , I L@BOGO MORFIZMA S -
GRADUIROWANNYH MNOVESTW f : X ;! A SU]ESTWUET ODIN I TOLX-
KO ODIN GOMOMORFIZM  -ALGEBR h : Fr(X) ;! A , TAKOJ, ^TO
IMEET MESTO RAWENSTWO MORFIZMOW GRADUIROWANNYH MNOVESTW f =
h (X) .
sMYSL \TOGO SWOJSTWA TAKOW: L@BOJ GOMOMORFIZM IZ Fr(X) POLNOS-
TX@ I ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOIMI ZNA^ENIQMI NA \LEMENTAH X .
    dOKAZATELXSTWO. pREDWARITELXNO INDUKCIEJ PO DLINE SLOW PO-
KAVEM, ^TO F = hXi . dLQ SLOW EDINI^NOJ DLINY WSE PROSTO: X  hXi
PO OPREDELENI@, A KONSTANTY SODERVATSQ W L@BOJ PODALGEBRE. eS-
LI DLQ SLOW DLINY, MENXEJ `(w) , UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO (TO
ESTX WSE TAKIE SLOWA SODERVATSQ W hXi ), TO PREDSTAWIM w W WIDE
w = w1 : : : wn! , GDE wi 2 Fsi , ! 2 s :::snj . tAK KAK DLINY WSEH wi
STROGO MENXE `(w) , TO wi 2 hXi PO PREDPOLOVENI@ INDUKCII. nO
                                       1


TAK KAK hXi | PODALGEBRA, TO w = w1 : : : wn! 2 hXi .
    dOPUSTIM, ^TO h SU]ESTWUET, I DOKAVEM EGO EDINSTWENNOSTX. pUSTX
IMEETSQ E]< ODIN GOMOMORFIZM g : Fr(X) ;! A , TAKOJ, ^TO f =
g (X) . tEPERX WYPOLNENY USLOWIQ LEMMY 2.2, PUNKT 4). sLEDOWA-
TELXNO, h = g .
    tEPERX POSTROIM h INDUKCIEJ PO DLINE  -SLOW. eSLI `(w) =
1 , TO WOZMOVNY DWA SLU^AQ. eSLI w 2 s , TO L@BOJ GOMOMORFIZM
DOLVEN OTOBRAVATX KONSTANTU W SOOTWETSTWU@]U@ KONSTANTU IZ A ,
SLEDOWATELXNO, ZNA^ENIE h NA w ODNOZNA^NO OPREDELENO. eSLI VE
w 2 Xs , TO, PO USLOWI@, hs (w) = fs(w) . tEPERX DOPUSTIM, ^TO DLQ
WSEH SLOW v IZ WSEH Fs TAKIH, ^TO `(v) < n , UVE OPREDELENY ZNA^ENIQ
hs (v) . rASSMOTRIM PROIZWOLXNOE SLOWO w 2 Fj DLINY n . sOGLASNO
POSTROENI@ ALGEBRY F PRI n > 1 , IMEET MESTO RAWENSTWO w =
w1 : : :wm ! , GDE wi 2 Fsi , PRI^EM PREDSTAWLENIE w W TAKOM WIDE, KAK
POKAZANO W LEMME 2.5, ODNOZNA^NO. tAK KAK `(wi) < n DLQ WSEH i ,
TO, ^TOBY STROQ]IJSQ h BYL GOMOMORFIZMOM, MY DOLVNY POLOVITX
hs (w) = hs (w1) : : : hsm (wm)!A . tEOREMA DOKAZANA.
          1


sLEDSTWIE 2.1. pUSTX F = Fr (X) = hXi , I A ESTX  -ALGEBRA.
eSLI DAN MORFIZM S -GRADUIROWANNYH MNOVESTW f : X ;! A TO DLQ
                                  27