Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 29 стр.

\LEMENTARNYH SWOJSTW OPERACIJ S SOOTWETSTWIQMI I BINARNYMI OT-
NOENIQMI SOBRAN W SLEDU@]EJ LEMME.
lEMMA 3.1. wO WSEH SLU^AQH, KOGDA OPREDELENY PRIWEDENNYE W NI-
VESLEDU@]EM SPISKE OPERACII S SOOTWETSTWIQMI, IME@T MESTO
RAWENSTWA:
     (A  B );1 = B ;1  A;1        (SSj2J Aj );1 = Sj2SJ A;1
                                                           j
       SA =) A  SA  A           ( j2J Aj )  B = ( j2J Aj  B )
     A  ( j2J Bj ) = j2J (A  Bj )
dOKAZATELXSTWO.        dOKAVEM RAWENSTWO (A  B );1 = B ;1  A;1 . iS-
HODQ IZ SMYSLA \TOGO WYRAVENIQ, POLAGAEM A  Z  Y , B  Y  X .
tOGDA A  B = f(z x) 2 Z  X j SU]ESTWUET y 2 Y TAKOJ, ^TO (z y) 2
A (y x) 2 B g . oTS@DA (A  B );1 = f(x z ) 2 X  Z j SU]ESTWUET y 2
Y TAKOJ, ^TO (z y) 2 A (y x) 2 B g . s DRUGOJ STORONY, B ;1 =
f(x y) 2 X  Y j(y x) 2 B g , A;1 = f(z y) 2 Z  Y j(y z ) 2 B g .
oSTAETSQ PRIMENITX OPREDELENIE I UBEDITXSQ, ^TO MNOVESTWA SOWPA-
DA@T. dOKAZATELXSTWO OSTALXNYH RAWENSTW OSTAWLQETSQ ^ITATEL@ W
KA^ESTWE UPRAVNENIQ.
   eSLI DANO BINARNOE OTNOENIE R  X  X , TO WMESTO (x1 x2) 2 R
INOGDA PIUT x1Rx2 , I GOWORQT, ^TO x1 I x2 NAHODQTSQ W OTNOENII
R.
   oPREDELENIE 3.2. pUSTX DANO BINARNOE OTNOENIE R  X  X .
oNO NAZYWAETSQ
    REFLEKSIWNYM, ESLI DLQ WSEH x 2 X IMEET MESTO WKL@^ENIE
    (x x) 2 R ( INYMI SLOWAMI,   R )
    SIMMETRI^NYM, IZ (x1 x2) 2 R WSEGDA SLEDUET (x2 x1) 2 R (TO
    ESTX R = R;1 )
    TRANZITIWNYM, ESLI (x y) 2 R , (y z ) 2 R WSEGDA SLEDUET (x z ) 2
    R (\TO RAWNOSILXNO TOMU, ^TO R  R  R ).
eSLI OTNOENIE OBLADAET WSEMI TREMQ \TIMI SWOJSTWAMI ODNOWRE-
MENNO, TO ONO NAZYWAETSQ OTNOENIEM \KWIWALENTNOSTI. pRI \TOM
^ASTO ISPOLXZUETSQ SLEDU@]EE OBOZNA^ENIE: WMESTO (x y) 2 R PI-
ETSQ x y ILI x R y . tAKIM OBRAZOM, R QWLQETSQ OTNOENIEM
                                  29