Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 31 стр.

MOVET PRINADLEVATX OBOIM \TIM MNOVESTWAM. sLEDOWATELXNO, i = j ,
x z 2 Xi = Xj , I x z .
   oSTAETSQ LEGKAQ PROWERKA TOGO, ^TO POSTROENNYE SOOTWETSTWIQ MEV-
DU OTNOENIQMI \KWIWALENTNOSTI I RAZBIENIQMI WZAIMNO OBRATNY.
tEOREMA DOKAZANA.
   tAKIM OBRAZOM, ZADATX RAZBIENIE | \TO WSE RAWNO, ^TO ZADATX OT-
NOENIE \KWIWALENTNOSTI, I NAOBOROT. |LEMENTY RAZBIENIQ fXiji 2
I g NAZYWA@TSQ KLASSAMI \KWIWALENTNYH \LEMENTOW DLQ SOOTWETSTWU-
@]EGO OTNOENIQ \KWIWALENTNOSTI E , A MNOVESTWO Ex = fyjy R xg
NAZYWAETSQ KLASSOM \LEMENTOW, \KWIWALENTNYH \LEMENTU x 2 X . iZ
DOKAZATELXSTWA TEOREMY SLEDUET, ^TO DWA KLASSA \KWIWALENTNYH \LE-
MENTOW LIBO SOWPADA@T, LIBO NE PERESEKA@TSQ, ^TO x 2 Ex , I ^TO
ESLI y 2 Ex , TO Ey = Ex .
   pUSTX DANO OTOBRAVENIE f : X ! Y . rASSMOTRIM MNOVESTWO
Ef  X  X , SOSTOQ]EE IZ WSEH PAR (x1 x2) TAKIH, ^TO f (x1 ) =
f (x2 ) . lEGKO PROWERQETSQ, ^TO \TO OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI, I ^TO
EGO KLASSY \KWIWALENTNYH \LEMENTOW | MNOVESTWA f ;1 (y) = fx 2
X jf (x) = yg , GDE y 2 Y , TO^NEE | TE IZ NIH, KOTORYE NE PUSTY.
pROWERIM, NAPRIMER, ^TO \TI MNOVESTWA OBRAZU@T RAZBIENIE. qSNO,
^TO x 2 f ;1 (f (x)) . eSLI y1 6= y2 , TO W f ;1 (y1) I f ;1 (y1 ) NE MOVET
BYTX OB]IH \LEMENTOW (ODIN I TOT VE x 2 X NE MOVET ODNOWREMENNO
OTOBRAVATXSQ I W y1 , I W y2 ). pOPROBUEM OTWETITX NA WOPROS, KAVDOE
LI OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI NA X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE Ef
DLQ NEKOTOROGO f : X ! Y . oKAZYWAETSQ, ^TO OTWET POLOVITELXNYJ.
   a IMENNO, PUSTX DANO OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI E  X  X , I
PUSTX Y | MNOVESTWO WSEH RAZLI^NYH KLASSOW \KWIWALENTNYH \LE-
MENTOW DLQ E . rASSMOTRIM OTOBRAVENIE f : X ! Y , SOPOSTAWLQQ
\LEMENTU x 2 X KLASS \LEMENTOW, \KWIWALENTNYH X , TO ESTX f (x) =
Ex . sOGLASNO OTME^ENNYM WYE SWOJSTWAM KLASSOW \KWIWALENTNYH
\LEMENTOW f (x) = f (y) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA Ex = Ey , ^TO
RAWNOSILXNO TOMU, ^TO x y . oTMETIM E]E, ^TO OTOBRAVENIE f
S@R_EKTIWNO.
   dLQ MNOVESTWA KLASSOW \KWIWALENTNYH \LEMENTOW SU]ESTWUET SPE-
CIALXNOE NAZWANIE | FAKTORMNOVESTWO MNOVESTWA X PO OTNOE-
NI@ E , I SPECIALXNOE OBOZNA^ENIE | X=E (^ITAETSQ " X PO E ").
                                    31