Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 30 стр.

\KWIWALENTNOSTI TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI DLQ L@BYH x y z 2 X
WYPOLNENY TRI SWOJSTWA: 1) x R x  2) x R y ) y R x  3)
x   R   y y   R   z)x   R   z.
    rAZBIENIEM MNOVESTWA X NAZYWAETSQ SEMEJSTWO EGO NEPUSTYH POD-
MNOVESTW fXiji 2 I g , TAKOE, ^TO X = i2I Xi I Xi \ Xj =  DLQ L@BYH
            6 j . rAZBIENIE BUDET \LEMENTOM MNOVESTWA P(P(X )) . |TO
i j 2 I i =
OZNA^AET, ^TO DWA RAZBIENIQ fXi0ji 2 I 0g I fXj00jj 2 I 00 g S^ITA@TSQ
RAWNYMI, ESLI MEVDU MNOVESTWAMI I 0 I I 00 MOVNO USTANOWITX TAKOE
WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOOTWETSTWIE i $ j , ^TO Xi0 = Xj00 .
tEOREMA 3.1. sU]ESTUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE
MEVDU OTNOENIQMI \KWIWALENTNOSTI NA X I RAZBIENIQMI X .
oNO ZADAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX E | OTNOENIE \KWI-
WALENTNOSTI. dLQ KAVDOGO x 2 X POLOVIM Ex = fy 2 X jy E xg .
tOGDA MNOVESTWO WSEH RAZLI^NYH PODMNOVESTW WIDA Ex OBRAZUET
RAZBIENIE X . oBRATNO, ESLI DANO RAZBIENIE fXiji 2 I g , TO OBRA-
ZUEM PODMNOVESTWO X  X , SOSTOQ]EE IZ WSEH PAR (x y) , TAKIH,
^TO NAJDETSQ i 2 I , DLQ KOTOROGO x y 2 Xi . uTWERVDAETSQ, ^TO
\TO | OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI, I OPISANNYE SOOTWETSTWIQ
WZAIMNO OBRATNY.
 dOKAZATELXSTWO. pUSTX DANO OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI E . uSTA-
NOWIM PREDWARITELXNO NEKOTORYE SWOJSTWA MNOVESTW WIDA Ex . tAK
KAK x E x , TO x 2 Ex . oTS@DA SLEDUET, ^TO X = x2X fxg 
  Ex  X , A ZNA^IT, X = x2X Ex . pUSTX z 2 Ex \ Ey . |TO ZNA^IT,
x2X
^TO z x , z y , ILI x z , z y , OTKUDA x 2 Ey I TO^NO TAK
VE y 2 Ex . dLQ L@BOGO w x TEPERX BUDET w x y , TO ESTX
Ex  Ey , I Ey  Ex . tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWA WIDA Ex LIBO
NE PERESEKA@TSQ, LIBO SOWPADA@T, PRI^EM IH OB_EDINENIEM QWLQETSQ
WSE MNOVESTWO X . sLEDOWATELXNO, ONI OBRAZU@T RAZBIENIE.
    oBRATNO, PUSTX DANO RAZBIENIE, I OPREDELENO OTNOENIE, OPISAN-
NOE W FORMULIROWKE TEOREMY. pOKAVEM, ^TO \TO OTNOENIE \KWI-
WALENTNOSTI. bUDEM PISATX x y WMESTO UTWERVDENIQ "NAJDETSQ
i 2 I , DLQ KOTOROGO x y 2 Xi ". o^EWIDNO, ^TO x x , I ^TO OTNOE-
NIE SIMMETRI^NO. pUSTX x y , I y z . |TO ZNA^IT, ^TO NAJDUTSQ
TAKIE i j 2 I , ^TO x y 2 Xi , y z 2 Xj . eSLI i 6= j , TO PO OPREDELE-
NI@ RAZBIENIQ Xi I Xj NE PERESEKA@TSQ, I PO\TOMU \LEMENT y NE
                                  30