Составители:
Рубрика:
139
Рис. 2.41. К решению задачи 186
Будем искать решение с заданной частотой, для чего положим y(x, t) =
= Re[e
iω t
Y (x)]. Кроме того введем безразмерную координату ξ = α +1−
− x/L, и параметры α = m/M, κ
2
= Lω
2
/g, тогда уравнение для Y (ξ)
записываются следующим образом:
d
dξ
ξ
dY (ξ)
dξ
+ κ
2
Y (ξ) = 0 .
После еще одной замены ζ = 2
√
κξ приходим к уравнению Бесселя с
индексом m = 0.
ζ
2
d
2
Y (ζ)
dζ
2
+ ζ
dY (ζ)
dζ
+ Y (ζ) = 0 .
с граничными условиями
Y (2
√
α) = 0 ,
dY (ζ)
dζ
+
ζ
2
Y (ζ)
ζ=2
√
1+α
= 0 .
Общее решение уравнения Бесселя имеет вид:
Y (ζ) = C
1
J
0
(ζ) + C
2
N
0
(ζ) .
Здесь J
0
и N
0
— функции Бесселя и Неймана нулевого порядка, C
1
и C
2
— постоянные, которые определяются из граничных условий. Подста-
вив это решение в граничные условия, после некоторых преобразований
получаем систему двух уравнений относительно неизвестных коэффи-
циентов:
C
1
J
0
(2
√
1 + ακ) + C
2
N
0
(2
√
1 + ακ) = 0 ,
C
1
J
1
(2
√
ακ) −
√
ακJ
0
(2
√
ακ)
+ C
2
N
1
(2
√
ακ) −
√
ακN
0
(2
√
ακ)
= 0 .
(3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- …
- следующая ›
- последняя »
