Составители:
Рубрика:
138
Рис. 2.40. К решению задачи 182
на рис. 2.41 и рассмотрим движение элемента струны длиной dx, с ко-
ординатами концов x и x + dx. Проекция закона Ньютона для движения
этого элемента на горизонтальное направление имеет вид
ρdx
∂
2
y(x, t)
∂t
2
= T (x + dx) sin θ(x + dx) − T (x) sin θ(x) .
Здесь T (x) — натяжение струны в точке с координатой x, θ(x) — на-
клон струны к вертикали. Так как мы считаем отклонения от положе-
ния равновесия малыми, то можно положить T (x) = g[m + M(1 − x/L)]
— натяжение струны под действием собственного веса и веса шарика,
M = ρL — полная масса струны, θ(x) ≈ ∂y(x, t)/∂x. Устремляя dx к
нулю, получаем дифференциальное уравнения для колебаний струны:
ρ
∂
2
y
∂t
2
−
∂
∂x
T (x)
∂y
∂x
. (1)
Его необходимо дополнить граничными условиями. При x = 0 струна за-
креплена, поэтому одно из условий есть y(0, t) = 0. Условие на нижнем
конце струны получим, записав проекцию уравнения движения шарика
на горизонтальную ось. В этом направлении на него действует един-
ственная сила — сила натяжения струны, поэтому можно записать
m
∂
2
y(L, t)
∂t
2
= −T (L) sin θ(L) .
Учтем, что T (L) = mg, тогда граничные условия принимают оконча-
тельный вид:
y(0, t) = 0 ,
∂
2
y
∂t
2
+ g
∂y
∂x
x=L
= 0 . (2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- …
- следующая ›
- последняя »
