Составители:
Рубрика:
137
Подставляя в них U, I ∼ exp(iωt), легко получить решение для комплекс-
ных амплитуд
¯
U(x) и
¯
I(x):
¯
U(x) = U
+
e
−ikx
+ U
−
e
ikx
,
¯
I(x) =
1
Z
0
U
+
e
−ikx
− U
−
e
ikx
,
где U
+
и U
−
— амплитуды волн напряжения, распространяющихся в
положительном и отрицательном направлениях x, Z
0
=
p
L/C — вол-
новое сопротивление линии, k =
√
LCω. На левом конце линии должно
быть U(0) = 0, отсюда U
+
= −U
−
, на правом конце линия нагружена
на конденсатор, поэтому в сечении x = l должно выполняться условие
I(l, t) = C
0
dU(l, t)/dt которое в комплексных переменных записывает-
ся в виде
¯
I(l) = iωC
0
¯
U(l). Подчиняя решение этим условиям, нетрудно
получить следующее уравнение относительно безразмерной переменной
z = kl = ω
√
LCl:
ctg z =
C
0
CL
z .
Графическое решение этого уравнения показано на рис. 2.40. Из него
видно, что при C
0
/CL ≪ 1 наименьший корень близок к z ≈ π/2. Пола-
гая z = π/2 − ∆, в первом порядке малости для ∆ получим
∆ = −(C
0
/CL)(π/2), поэтому в этом пределе
ω =
π
2l
√
LC
1 −
C
0
Cl
.
Во втором случае (C
0
/Cl ≫ 1) значение корня близки к нулю, при этом
можно положить ctg z ≈ 1/z, тогда z =
p
Cl/C
0
, а значение частоты
основного колебания равно
ω =
1
√
LlC
0
.
Отметим, что в этом случае колебания происходят как в сосредоточен-
ном колебательном контуре с емкостью C
0
и индуктивностью L
0
= Ll,
равной полной индуктивности линии.
185. См. решение задачи 186.
186. Прежде всего получим уравнения, описывающие колебания струны
с шариком на конце. Для этого введем систему координат, как показано
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- …
- следующая ›
- последняя »
