Составители:
Рубрика:
140
Мы использовали известные формулы для функций Бесселя
J
′
0
(ζ) = −J
1
(ζ) и N
′
0
(ζ) = −N
1
(ζ) .
Рассмотрим отдельно случай свободного конца струны (m = 0). При
этом α = 0, и аргумент фу нкции N
0
на одном из концов струны обра-
щается в бесконечность. Чтобы избежать этого, необходимо потребовать
C
2
= 0, тогда вместо приведенной выше системы уравнений получаем
единственное соотношение C
1
J
0
(2κ) = 0, откуда следует, что κ = ν
0n
/2,
где ν
mn
— n-й корень функции Бесселя m-го поря дка. Из справочника
можно найти ν
01
= 2.405, ν
02
= 5.520, ν
03
= 8.654. Тогда первые три соб-
ственные частоты есть ω
1
= 1.2
p
g/L, ω
2
= 2.76
p
g/L, ω
3
= 4.33
p
g/L
В случае, если m 6= 0, из условия существования нетривиального
решения системы (3) получаем уравнение
J
1
(2κ
√
α) − κ
√
αJ
0
(2κ
√
α)
N
0
(2κ
√
α) −
−
N
1
(2κ
√
α) − κ
√
αN
0
(2κ
√
α)
J
0
(2κ
√
α) = 0 .
При заданном α это уравнение возможно решить только численно. На-
пример, при α = 1 (масса струны равна массе шарика), оно дает следу-
ющие первые корни для параметра κ: κ
1
= 1.056, κ
2
= 4.082, κ
3
= 7.738.
Следовательно, первые собственные частоты равны ω
1
= 1.056
p
g/L,
ω
2
= 4.082
p
g/L, ω
3
= 7.738
p
g/L.
187. При условии R ≪ L в каждой точке сечения трубы скорость га-
за направлена вдоль нее и, если пренебречь вязкостью, не меняется по
сечению. Поэтому справедливо одномерное приближение, и линеаризо-
ванные уравнения гидродинамики имеют тот же самый вид, как они
были получены в задаче 96:
∂v
′
∂t
= −
c
2
0
ρ
0
∂ρ
′
∂x
,
∂ρ
′
∂t
= −ρ
0
∂v
′
∂x
.
Напомним, что здесь v
′
— скорость газа, ρ
′
— возмущение его плотности.
Обратим внимание, что эти уравнения с точностью до переобозначений
совпадают c телеграфными уравнениями, описывающими распростране-
ние волн напряжения и тока в длинной линии (см. решение задачи 182).
Действительно, при замене v
′
→ U, ρ
′
→ I, c
2
0
/ρ
0
→
¯
L, ρ
0
→
¯
C, одни
уравнения переходят в другие. Аналогия оказывается еще более пол-
ной, если рассмотреть условия на концах трубки. На закрытом конце
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- …
- следующая ›
- последняя »
