Составители:
Рубрика:
146
k = ω/c. В них уже учтены граничные условия при x = 0 и на бесконеч-
ности. Удовлетворяя граничные условия при x = l, получаем:
A sin kl = Be
−ikl
, A cos kl = −igBe
−ikl
.
Условие разрешимости этих уравнений tg kl = i/g есть характеристи-
ческое уравнение задачи. Его решение ищем в виде kl = πn + iδ, n =
= 0, ±1, ±2 . . . . Тогда должно выполняться уравнение
th δ =
1
g
.
Отсюда
δ = arcth(
1
g
) =
1
2
ln
g + 1
g − 1
.
Мы получаем набор комплексных собственных частот ”резонатора”, об-
разованного неоднородностью регулярной линии передачи:
ω
n
=
πnc
l
+ i
δc
l
.
Мнимая часть всех частот ω
′′
n
> 0. Это значит, что собственные колеба-
ния в ”резонаторе” затухают за счет излучения энергии, которая уносит-
ся от него по отрезку линии x > l. Интересно отметить, что при x > l
соответствующая собственная функция оказывается нарастаю щей в про-
странстве: V
n
∼ exp(−ik
n
x) = exp(δx/l) exp (−iπnz/l). Так как при g > 1
имеем δ > 0, то амплитуда этой волны экспоненциально растет с увели-
чением x. Кажущийся парадокс разрешается тем, что сигнал в системе
распространяется с конечной скоростью c. Значение поля в точке x в
момент времени t на большом расстоянии от резонатора, определяется
тем, какое поле было в нем в более ранний момент времени t
′
= t −
− x/c. Поскольку поле в самом резонаторе экспоненциально затухает
со временем пропорционально exp(−δct
′
/l), то в точке наблюдения поле
должно быть пропорционально exp(−δct/l) exp(δx/l). Мы получили как
раз необходимый закон изменения собственного поля в пространстве в
фиксированный момент времени. Такая ситуация свойственна о ткры-
тым резонаторам, потери в которых обусловлены излучением волн в
пространство.
Найденные решения для затухающих колебаний в модели открыто-
го резонатора на самом деле не являются ”настоящими” собственными
модами, в том смысле, как это обычно понимают в теории колебаний.
