Составители:
Рубрика:
144
получаем уравнения вида
r
d
dr
r
dR
dr
+
k
2
r
2
−m
2
R = 0 ,
d
2
Φ
dϕ
2
+ m
2
Φ = 0 .
(3)
Здесь m
2
— константа разделения. Запишем решение для функции Φ(ϕ):
Φ(ϕ) = A cos(mϕ) + B sin(mϕ) .
Она должна быть однозначной, поэтому m — целое число. Уравнение
для R(r) является уравнением Бесселя, его решение, ограниченное при
всех r, равно
R(r) = CJ
m
(kr) .
Чтобы выполнялось граничное условие на краю мембраны, необходимо,
чтобы J
0
(kR) = 0, поэтому k = k
mn
= ν
mn
/R, где ν
mn
— нули функ-
ции Бесселя. Для каждого m и n существуют две линейно независимые
собственные функции
F
mn
(x, y) =
sin mϕ
sin mϕ
J
m
(ν
mn
r/R) .
Собственные частоты ω
mn
= vk
mn
= vν
mn
/R двукратно вырождены.
193. E
n
= ~
2
π
2
n
2
/(2mL
2
), n = 1, 2, . . . .
194. Cчитая, что одна из торцевых крышек цилиндра совпадает с плос-
костью x = 0, ищем решение для волновой функции в полярной системе
координат в виде
Ψ(x, y, z, t) = Ae
iEt/~
sin
πnz
L
ψ(r, ϕ) ,
n—целое. Подставляя это решение в уравнение Шредингера, получаем
для функции ψ(r, ϕ) у равнение Гельмгольца
∆
⊥
ψ + k
2
ψ = 0 ,
где k
2
= 2mE/~
2
− π
2
n
2
/L
2
, ∆
⊥
=
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
— поперечный оператор
Лапласа. Вид зависимости от координаты выбран таким образом, что-
бы удовлетворялись нулевые граничные условия на торцах. Равенство
нулю волновой функции на на боковой поверхности цилиндра приводит
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- …
- следующая ›
- последняя »
