Составители:
Рубрика:
145
к граничному условию ψ(R) = 0. Вместе с приведенным выше уравнени-
ем мы получаем краевую задачу из задачи 192 о колебаниях резиновой
мембраны, найденное решение для которой имеет вид:
ψ(r, ϕ) =
sin mϕ
sin mϕ
J
m
(ν
mn
r/R) ,
k
2
mn
= ν
2
mn
/R
2
. Отсюда вытекает выражение для энергии электрона:
E =
~
2
2m
ν
2
mn
R
2
+
π
2
n
2
L
2
.
195. ω
nm
=
√
gk
nm
th hk
mn
, где k
mn
= π
p
(1/(a
2
m
2
) + 1/(b
2
n
2
), m, n —
целые числа, не равные нулю одновременно.
196. Волны в линии подчиняются телеграфным уравнениям (см. зада-
чу 182), которые легко свести к волновому уравнению второго порядка
для напряжения:
∂
2
V
∂t
2
− c
2
∂
2
V
∂x
2
= 0 .
Здесь c
2
= 1/
√
¯
L
¯
C — скорость распространения волн в линии. Волновое
сопротивление Z =
p
¯
L/
¯
C меняется скачком в сечении x = l, причем,
поскольку по условию задачи скорость при этом остается неизменной,
для волновых сопротивлений выполняется соотношение g = Z
1
/Z
2
=
=
¯
L
1
/
¯
L
2
> 1.
Установим граничные условия. На закороченном конце линии при
x = 0 должно быть V (0, t) = 0, в сечении скачка волнового сопротивле-
ния непрерывны напряжение и ток в линии. Используя первое из теле-
графных уравнений, получаем следующие соотношения
V (x = l −0) = V (x = l + 0) ,
∂V
∂x
x=l−0
= g
∂V
∂x
x=l+0
.
Кроме того, потребуем, чтобы при x > l в системе существовала волна,
бегущая только вправо. Это требование представляет собой граничное
условие на бесконечности для собственных мод системы.
Исходя из этих условий, напряжение в линии ищем в виде V (x, t) =
= Re{V (x) exp iωt}, причем для комплексной волны V (x) выполняются
соотношения
V (x, t) = A sin kx , 0 ≤ x ≤ l ,
V (x, t) = Be
−ikx
, x ≥ l ,
