Составители:
Рубрика:
49
первыми неисчезающими членами ряда:
U(x) = U
(
x
0
) +
d
2
U
dx
2
x=x
0
(x − x
0
)
2
2
,
При малых отклонениях частицы от положения равновесия можно за-
писать закон сохранения энергии в виде m
˙
ξ/2
2
+ kξ
2
/2 = const, где ξ =
= x − x
0
и k = (d
2
U/dx
2
)
x=x
0
. Отсюда следует, что вблизи минимума
колебания частицы происходят по гармоническому закону с частотой
ω =
p
U
′′
(x
0
)/m и с периодом T = 2π
p
m/U
′′
(x
0
).
Применим этот результат к условиям данной задачи. В случае а)
потенциал имеет минимум в точке x
0
= l и U
′′
(l) = 6U
0
/l
2
. Поэтому
T = 2π
p
6U
0
/ml
2
.
В случае б ) минимум потенциала достигается в точке x =
6
√
2b а вто-
рая производная функции U(x) в этой точке равна 36 ·2
2/3
a/b
2
. Поэтому
период колебаний вблизи минимума составляет
T = 2
2/3
πb
6
r
m
a
.
19. Известно, что при движении в поле центральных сил, для радиаль-
ной составляющей движения можно пользоваться понятием эффектив-
ного потенциала [2], который равен
U
эф
(r) = U(r) +
L
2
2mr
2
,
где L — момент импульса. Так как равновесная орбита имеет радиус a, то
эффективный потенциал при r = a должен иметь минимум: U
′
эф
(a) = 0.
Подставляя сюда U(r) = Kr
3
, получаем, что L
2
= 3mKA
5
. Вторая про-
изводная потенциала вблизи минимума равна U
′′
эф
(a) = 15Ka. Используя
результат задачи 17, приходим к выводу, что период радиальных коле-
баний частицы равен T = 2π
p
m/(15Ka).
20. Обозначим искомый период через T . Рассчитаем разность ∆T = T −
− T
0
. Выберем некоторый угол β такой, что α ≪ β ≪ 1. и обозначим
время, за которое маятник, первоначально отклоненный на угол α, до-
стигает угла β через t
1
, а время, за которое он достигает того же угла,
будучи отклоненным на угол α/2,— через t
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
