Составители:
Рубрика:
51
21. Закон сохранения энергии при движении частицы массы m в одно-
мерном потенциале U (x) имеет вид
m ˙x
2
2
+ U(x) = E = const ,
откуда ˙x =
p
2[E − U(x)]/m. Если U(x) = k|x|
n
, то период колебаний
равен
T = 4
x
m
Z
0
dx
p
2[E − U(x)]/m
= 4
r
m
2k
A
1−n/2
1
Z
0
dξ
√
1 − ξ
n
,
где A — максимальное отклонение осциллятора (или амплитуда коле-
баний), которая связана с полной энергией соотношением kA
n
= E. Из
формулы для периода следует, что при n = 2 он не зависит от ампли-
туды (изохронные колебания). Если 1 < n < 2, то период колебаний
уменьшается при A → 0, если n > 2, то период колебаний увеличивается
при A → 0.
23. Запишем закон сохранения энергии для движения бусинки. Посколь-
ку движение не является одномерным, у скорости бусинки есть две ком-
поненты: вертикальная и горизонтальная. С учетом этого, закон сохра-
нения энергии принимает вид
m( ˙x
2
+ ˙y
2
)
2
+ mgkx
2
= E
(E — полная энергия). Так как проволочка жесткая, то x и y-координаты
бусинки связаны между собой, так что ˙y = y
′
(x) ˙x = 2kx ˙x. Поэтому
можно записать
m ˙x
2
2
1 + 4k
2
x
2
+ mgkx
2
= E .
Это соотношение является уравнением траекторий на фазовой плоско-
сти. Если энергия колебаний очень мала (2kx ≪ 1), то фазовая траек-
тория близка по форме к эллипсу m(gkx
2
+ ˙x
2
/2) = C. Следовательно
период малых колебаний совпадает с периодом колебаний на эллипсе.
Если же амплитуда колебаний велика, то фазовая траектория лежит
внутри эллипса, соответствующего колебанию гармонического осцилля-
тора с той же энергией, и касается его в точках пересечения с осями
координат (см. рис. 2.2). При любом значении координаты x, кроме то-
чек максимального отклонения и нуля, скорость бусинки меньше, чем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
