Составители:
Рубрика:
53
Вблизи минимума потенциала спутник совершает малые радиальные ко-
лебания с частотой ω =
q
U
′′
эф
(R)/m (см. решение задачи 17), или ω =
=
p
GM/R
3
. Эту величину можно выразить через ускорение свободного
падения g на поверхности Земли, если учесть, что g = GM/R
2
0
, R
0
— ра-
диус Земли. Тогда
ω =
R
0
R
r
g
R
0
.
Нетрудно убедиться, что период этих колебаний совпадает с периодом
обращения спутника по круговой орбите радиуса R. Это естественно, так
как в гравитационном поле замкнутая траектория движения материаль-
ной частицы должна быть эллипсом, поэтому при небольшом возмуще-
нии круговая орбита переходит в эллипс практически с тем же периодом
обращения.
Отклонение спутника от первоначальной орбиты ˜r(t) = r(t) −R под-
чиняется уравнению гармонического осциллятора с частотой ω, его ре-
шение при заданных начальных условиях ˜r(0) = 0,
˙
˜r(0) = ∆P/m равно
˜r(t) =
∆P
mω
sin ωt .
Максимальное отклонение спутника от центра Земли произойдет через
четверть периода обращения, оно равно r
max
= R + ∆P/(mω), а наибо-
лее близко спутник будет к Земле через три четверти периода, в этой
точке r
min
= R − ∆P/(mω). Отсюда следует, что большая полуось эл-
липса повернута относительно направления от центра Земли к точке,
где произошло включение двигателя, на угол 90
◦
.
Отметим, что найденные в этом приближении значения полуосей эл-
липса совпадают с R, поскольку при малом эксцентриситете ε они отли-
чаются друг от друга на величину второго порядка малости по ε. Тем
не менее, в этом приближении можно найти сам эксцентриситет. Для
этого заметим, что один из фокусов эллипса, в котором находится центр
Земли, сдвинут относительно центра симметрии траектории на величи-
ну ∆P/(mω). Из аналитической геометрии известно, что это расстояние
равно равняется εa (a — большая полуось). В нашем приближении a =
= R, поэтому окончательно ε = ∆P/(mωR).
29. Q = 455, d = 6.9·10
−3
, γ = 1.54·10
−3
.
30. C = 1/(2πf RQ) ≈ 3.2·10
−9
Ф, L = RQ/(2πf) ≈ 8·10
−4
Гн.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
