Составители:
Рубрика:
54
31. Выделившееся тепло совпадает с работой силы трения за один п е-
риод, поэтому можно записать
Q =
t+T
Z
t
vF
тр
dt = λ
t+T
Z
t
v
2
dt .
Вместо точного вычисления этого интеграла воспользуемся условием,
что добротность колебаний велика. Значит можно считать, что в течении
одного периода колебаний их амплитуда A неизменна, поэтому при вы-
числениях можно положить x(t) = A cos(ωt+ϕ) и v(t) = −ωA sin(ωt+ϕ),
ω =
p
k/m. Тогда интеграл легко вычисляется, что дает Q = λT ω
2
A
2
/2.
Пусть среднее значение энергии колебаний осциллятора есть
¯
W . Тогда
можно записать закон сохранения энергии в виде
¯
W (t + T ) −
¯
W (t) = −Q , или
d
¯
W
dt
= −λkA
2
/(2m) .
При переходе к последнему соотношению мы использовали то обстоя-
тельство, что средняя энергия мало меняется за один период колебаний.
Так как
¯
W = kA
2
/2, то мы получаем d
¯
W /dt = −2γ
¯
W , где γ = λ/(2m).
Решение этого уравнения есть
¯
W (t) =
¯
W (0) exp(−2γt), следовательно
амплитуда колебаний меняется по закону A(t) = A(0) exp(−γt).
Разумеется, тот же самый результат следует непосредственно из ре-
шения уравнений движения осциллятора.
36. Запишем уравнение движения электрона осциллятора в виде
m¨x + mω
2
x =
e
2
c
3
...
x
,
где слагаемое в правой части отвечает силе радиационного трения. Пере-
ходя к безразмерному времени τ = ωt, получаем безразмерное уравнение
движения:
−α
d
3
x
dτ
3
+
d
2
x
dτ
2
+ x = 0 .
где α = 2e
2
ω/(3mc
2
) ≈ 6.26·10
−9
. Характеристическое уравнение для
этого дифференциального уравнения имеет вид −αp
3
+ p
2
+ 1 = 0, при-
чем коэффициент при старшей степени очень мал. Поэтому для нахож-
дения корней можно воспользоваться методом возмущений. В нулевом
приближении p = ±i, в следующем порядке ищем решение в виде p =
= ±i + ε, где ε ∼ α. Подставляя это выражение в характеристическое
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
