Составители:
Рубрика:
56
Если ω ≪ ω
0
, то с точностью до линейных членов по ω эти формулы
дают A = f
0
/ω
2
0
, ψ = 0. Если же ω ≫ ω
0
, то A = f
0
/ω
2
, ψ = −π.
Эти же соотношения можно получить непосредственно из уравнения
гармонического осциллятора.
Если ω ≪ ω
0
, то первые два слагаемых в левой части этого уравнения
малы по сравнению с третьим. В случае механического осциллятора это
означает, что при медленном движении упругая сила доминирует над си-
лами инерции и трения: она одна практически полностью компенсирует
внешнюю силу. Действительно, по порядку величины можно записать
F
ин
∼ ω
2
x, F
тр
∼ γωx, F
тр
∼ ω
2
0
x, откуда следует сделанное утвержде-
ние. Поэтому ω
2
0
x(t) ≈ f
0
cos ωt, т.е. A ≈ f
0
/ω
2
0
, ψ ≈ 0.
Напротив, если частота внешней силы очень велика (ω ≫ ω
0
), то
доминирующей является сила инерции, в этом случае, пренебрегая тре-
нием и силой упругости, получаем ¨x(t) = f
0
cos ωt. Дважды интегрируя
по времени, приходим к формуле: x(t) ≈ −f
0
/ω
2
cos ωt, т.е. A ≈ f
0
/w
2
,
ψ ≈ −π.
42. A/A
пола
= (ω
0
/ω)
2
= 0.01.
44. Уравнение гармонического осциллятора с δ-образной внешней силой
имеет вид
¨x + ω
2
x = pδ(t) .
Проинтегрируем его по бесконечно малому промежутку времени, содер-
жащему момент t = 0. Используя основное свойство δ-функции, получа-
ем
˙x(+0) − ˙x(−0) + ω
2
+0
Z
−0
x(t) = p .
Интеграл слева равен нулю, так как функция x(t) — непрерывная (в про-
тивном случае потребовалась бы бесконечно большая мощность внешне-
го, воздействия, чтобы за бесконечно малый промежуток времени изме-
нить координату осциллятора на конечную величину). Если осциллятор
до воздействия импульса покоился, то ˙x(−0) = 0, следовательно его ко-
ордината останется равной нулю, а скорость сразу после импульса станет
равной ˙x(+0) = p. Решение уравнения консервативного осциллятора с
такими начальными условиями есть
x(t) =
p
ω
sin ωt .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
