Составители:
Рубрика:
57
45. Отклик осциллятора на единичный δ-образный импульс был найден
в задаче 44. Воспользуемся свойством линейности системы и сразу запи-
шем отклик для случая, когда последовательно действуют N δ-образных
импульсов:
x(t) =
p
ω
N−1
X
k=0
sin ω(t − kT )
Сумму проще всего вычислить с помощью формулы sin α = Im[exp(iα)].
Обозначим ωT = α. Тогда
N−1
X
k=0
sin ω(t − kT ) = Im
N−1
X
k=0
e
iw(t−kT )
!
= Im
e
iω t
N−1
X
i=0
e
−iαk
!
Последняя сумма есть геометрическая прогрессия, которая равна
e
−i(N/2−1)
sin(Nα/2)
sin(α/2)
.
Поэтому окончательно имеем
x(t) =
p
ω
sin(Nα/2)
sin(α/2)
sin
ωt −
N
2
− 1
.
Амплитуда колебаний после окончания действия всех толчков равна
A =
p
ω
sin(Nα/2)
sin(α/2)
.
График функции sin(NωT/2)/ sin(ωT/2) для N = 10 приведен на рис. 2.3.
46. Условие v ≫ lω
0
, означает, что скорость “электрона” настолько вели-
ка, что за время его пролета осциллятор не успевает заметно сдвинуться
из положения равновесия. Поэтому переданный ему импульс со стороны
пролетающего “электрона” равен
∆P =
∞
Z
−∞
F
x
(t) dt =
∞
Z
−∞
l
p
l
2
+ y
2
(t)
e
2
l
2
+ y
2
(t)
dt .
Здесь y(t) — закон движения пролетающего “электрона”. В первом при-
ближении можно полагать y(t) = vt, т.е. считать, что взаимодействие
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
