Составители:
Рубрика:
63
Рис. 2.6. К решению задачи 57.
57. Искомая область определяется системой неравенств
a > 0, a > −b, b > −8/3
На плоскости параметров (a, b) (рис. 2.6 соответствующая область за-
штрихована.
58. Выразим параметр λ из характеристического уравнения: λ = −1/p−
−2/p
2
−1/p
3
−2/p
4
−1/p
5
. Подставляя p = iω, и разделяя действительную
и мнимую части этого уравнения, получаем:
λ
′
= Re λ =
2
ω
2
−
2
ω
4
,
λ
′′
= Im λ =
1
ω
−
1
ω
3
+
1
ω
5
.
(1)
Эти уравнения задают в параметрической форме λ
′
= λ
′
(ω), λ
′′
= λ
′′
(ω)
кривую на плоскости (λ
′
, λ
′′
), разделяющую области с различным чис-
лом корней характеристического уравнения, имеющих положительную
действительную часть, или, другими словами, области с разным поряд-
ком неустойчивости.
Прежде всего заметим, что функция λ
′
(ω) четная, а λ
′′
(ω) — нечетная
относительно своего аргумента, это значит, что значениям ω, отличаю-
щимся знаком, соответствуют точки на плоскости (λ
′
, λ
′′
), симметрично
расположенные относительно горизонтальной оси. Поэтому д остаточно
рассмотреть только положительные значения ω. Исследуем асимптоти-
ческое поведение кривой при малых и больших значениях ω.
При ω → 0 из формул (1) следует, что λ
′
∼ −2ω
−4
, λ
′′
∼ ω
−5
поэтому
кривая вдали от начала координат ведет себя как λ
′′
∼ (−λ
′
/2)
5/4
, λ
′
→
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
