Составители:
Рубрика:
65
Рис. 2.7. К решению задачи 58.
Характеристическое уравнение для этой системы: ap
2
−1 = 0. При a > 0
оно имеет два действительных корня разных знаков: p
1,2
= ±
p
1/a, сле-
довательно в этом случае точка P
1
— седло. При a < 0 имеем два чисто
мнимых корня, поэтому линейного анализа недостаточно для вывода о
типе особой точки (см. [8]) Дополнительный анализ, выходящий за рам-
ки линейного приближения, позволяет показать, что эта особая точка —
центр.
2. Вблизи точки P
2
линеаризованные уравнения есть
a
˙
ξ = 2ξ + η , ˙η = η ,
характеристическое уравнение: ap
2
− (a + 2)p + 2 = 0, его корни равны
p
1
= 1, p
2
= 2/a, следовательно это неустойчивый узел при a > 0 и седло
при a < 0.
3. Аналогично для точки P
3
получаем линейные уравнения
a
˙
ξ = −2ξ + η , ˙η = −η ,
характеристическое уравнение ap
2
+ (a + 2)p + 2 = 0, его корни p
1
= −1,
p
2
= −2/a. Это устойчивый узел при a > 0 и седло при a < 0.
61. Система имеет три положения равновесия: В точке P
1
(0, 0) корни ха-
рактеристического уравнения равны p
1,2
= ±1/2, следовательно это сед-
ло. В точке P
2
(1/2β, 0) получаем p
1
= −1/2, p
2
= +(1−2αβ)/[2(1+2αβ)],
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
