Составители:
Рубрика:
67
где ω
1,2
= 1/
p
LC
1,2
(мы считаем, что в момент n значение емкости из-
менилось со значения C
2
на значение C
1
). Легко проверить, что детер-
минант каждой из матриц в этой формуле равен единице, поэтому ра-
вен единице и детерминант матрицы произведения, которую будем обо-
значать через
A
. Матрица
A
определяет отображение динамических
переменных за период изменения параметра системы. Наличие неустой-
чивости зависит от того, имеет ли матрица
A
собственные числа, по
модулю большие единицы. Легко показать, что для матрицы второго по-
рядка с единичным детерминантом это реализуется, если |Sp
A
| > 2,
где Sp — след матрицы (докажите это утверждение!).
Граница между устойчивым и неустойчивым поведением системы
определяется уравнением |Sp
A
| = 2, или
2 cos ω
1
τ cos ω
2
τ −
ω
2
1
+ ω
2
2
ω
1
ω
2
sin ω
1
τ sin ω
2
τ
=
=
1 +
ω
2
1
+ ω
2
2
2ω
1
ω
2
cos(ω
1
+ ω
2
)τ +
1 −
ω
2
1
+ ω
2
2
2ω
1
ω
2
cos(ω
1
− ω
2
)τ
= 2 .
(2)
Введем безразмерный параметр ε = ∆C/C
0
≪ 1, тогда
ω
1
= ω
0
/
p
1 − ε/2 и ω
2
= ω
0
/
p
1 + ε/2 .
Раскладывая необходимые выражения в ряд по степеням ε, получаем:
ω
2
1
+ ω
2
2
2ω
1
ω
2
= 1 + ε
2
/8 + O(ε
4
) ,
ω
1
+ ω
2
= 2ω
0
+ 3ω
0
ε
2
/16 + O(ε
4
) ,
ω
1
− ω
2
= ω
0
ε/2 + 5ω
0
ε
3
/64 + O(ε
5
) .
Подставляя эти разложения в уравнение (2) , преобразуем его к виду
cos 2ω
0
τ + [(cos 2ω
0
τ − 1) − 3ω
0
τ sin 2ω
0
τ]
ε
2
16
= 1 (3)
Слагаемое, пропорциональное ε
2
, мало, поэтому уравнение может
иметь корни только если |cos(2ω
0
τ)| ≈ 1, т.е. при ω
0
τ ≈ πn/2, n =
= 1, 2, . . . .
Пусть n = 1; положим ω
0
τ = π/2 + δ, |δ| << 1. Тогда разложение
выражения, стоящего под знаком модуля, в ряд по степеням δ , дает
(−1 + 2δ
2
− ε
2
/8 + . . . ). Очевидно, что при малых ε и δ решение суще-
ствует только для отрицательного знака модуля, поэтому δ ≈ ± ε/4. Эта
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
