Составители:
Рубрика:
66
оба корня отрицательны, — это устойчивый узел. В точке P
3
(α, α(1 −
− 2αβ)) характеристическое уравнение имеет вид 8p
2
+ (12αβ − 2)p −
− (2αβ − 1) = 0. Легко показать, что у этого уравнения корни чисто
действительные, причем их произведение меньше нуля, следовательно
P
3
— седло.
62. Введем безразмерные переменные
y = (T − T
0
)/(T
0
−T
1
) , x = N/[k(T
0
− T
1
)] − 1 , τ = kt/mc .
В этих переменных уравнения динамики реактора примут вид:
dx
dτ
= −r(x + 1)y ,
dy
dτ
= x − y ,
где r = αmc(T
0
− T
1
)/kl > 0 — параметр. Здесь имеются две неподвиж-
ные точки: P
1
(0, 0) и P
2
(−1, −1). Линеаризуя стандартным образом урав-
нения вблизи этих точек, и вычисляя корни характеристического урав-
нения, можно получить, что в точке P
1
они равны p
12
= (−1±
√
1 − 4r)/2.
При r < 1/4 оба корня действительные и отрицательные, в этом случае
P
1
— устойчивый узел, при p > 1/4 корни комплексно сопряженные с
отрицательной действительной частью, P
1
— устойчивый фокус.
Вблизи точки P
2
корни характеристического уравнения есть p
1
= −1,
p
2
= r, это седло.
63. Мальчик должен выпрямлять ноги в нижней точке траектории и
приседать в моменты максимального отклонения качелей.
64. Пусть q — заряд на конденсаторе. В те моменты, когда емкость кон-
денсатора скачком меняется, заряд остается неизменным, так же, как и
ток в контуре, поэтому функции q(t) и ˙q(t) — непрерывные. Для опи-
сания динамики системы введем вектор-столбец x
n
= [q
n
, ˙q
n
/ω
0
]
T
, где
индекс n соответствует значению каждой переменной в моменты пере-
ключения емкости, ω
0
= 1/
√
LC
0
, T — знак транспонирования. В проме-
жутках между этими моментами динамика системы задается формулой
q(t) = q
n
cos ω(t − t
n
) +
˙q
n
ω
sin ω(t − t
n
) , nτ < t < (n + 1)τ .
Здесь ω — текущее значение частоты колебаний. В матричной форме
можно записать:
x
n+2
=
cos ω
2
τ
ω
0
ω
2
sin ω
2
τ
−
ω
2
ω
0
sin ω
2
τ cos ω
2
τ
·
cos ω
1
τ
ω
0
ω
1
sin ω
1
τ
−
ω
1
ω
0
sin ω
1
τ cos ω
1
τ ,
x
n
(1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
