Составители:
Рубрика:
68
формула дает границы зоны неустойчивости основного параметрическо-
го резонанса.
Аналогично действуем при n = 2, положив ω
0
τ = π + δ. Тогда под
знаком модуля стоит величина (1 −2δ
2
−3π/8δε
2
+ . . . ). Отсюда δ
0
≈ 0 и
δ
2
≈ −3πε
2
/16. Форма зоны неустойчивости несимметрична, в отличие
от зоны основного резонанса, при этом ширина зоны ∼ ε
2
.
Легко видеть, что для всех нечетных n качественно получаются те
же самые результаты, что и для n = 1: вблизи острия “клюва” грани-
цы зоны близки к прямым и его форма симметрична. Для всех четных
n получаемые результаты качественно совпадают с результатами для
N = 2.
66. Уравнение колебаний в контуре имеет вид
¨q + 2γ ˙q + ω
2
0
(1 −ε cos pt) q = 0 , (1)
где q — заряд на конденсаторе, ω = 1/
√
LC
0
, ε = ∆C/C
0
≪ 1, γ = ω/(2Q)
— коэффициент затухания. Заменой переменных q(t) = exp(−γt)x(t) это
уравнение преобразуется в
¨x + ω
2
(1 − ε cos pt) x = 0 , (2)
где ω
2
= ω
0
− γ
2
. Так как добротность контура велика, то разницей
между ω и ω
0
будем пренебрегать.
Решение уравнения (2) ищем в виде
x(t) =
1
2
A(t)e
iω
0
t
+ к.с. ,
причем комплексную амплитуду A(t) можно считать медленно меняю-
щейся во времени величиной. Ее изменение описывает возможную неустой-
чивость в системе, а также смещение частоты колебаний относительно
собственной частоты контура ω
0
. К.с. обозначает комплексно сопряжен-
ные величины. Вычислим производные от x(t):
˙x(t) =
1
2
h
iω
0
A(t) +
˙
A(t)
i
e
iω
0
t
+ к.с. ,
¨x(t) =
1
2
h
−ω
2
0
A(t) + 2iω
0
˙
A(t) +
¨
A(t)
i
e
iω
0
t
+ к.с. .
Так как, по предположению, амплитуда A(t) медленно меняется, вели-
чиной
¨
A(t) можно пренебречь по сравнению с другими слагаемыми. Под-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
