Составители:
Рубрика:
69
ставляя эти формулы в уравнение (2), получим
2iω
0
˙
A(t)e
iω
0
t
−
ω
2
0
ε
2
e
ipt
+ e
−ipt
A(t)e
iω
0
t
−
−2iω
0
˙
A
⋆
(t)e
−iω
0
t
−
ω
2
0
ε
2
e
ipt
+ e
−ipt
A
⋆
(t)e
−iω
0
t
= 0 .
Поделим это соотношение на exp(iω
0
t) и усредним по времени 2π/p.
Все слагаемые, содержащие быстро меняющиеся экспоненты при этом
обратятся в нуль, кроме содержащего экспоненту exp[i(p−2ω
0
)t], так как
по условиям задачи p ≈ 2ω
0
, и этот член не является осциллирующим.
В результате усреднения получаем уравнение
˙
A(t) +
iω
0
ε
4
A
⋆
(t)e
i(p−2ω
0
)t
= 0 . (3)
Введем обозначение ω
0
−p/2 = δ и новую переменную a(t) = A(t) exp(iδt).
Для нее уравнение записывается так:
˙a(t) − iδa(t) +
iω
0
ε
4
a
⋆
(t) = 0 .
Представим это уравнение в действительной форме, положив a(t) =
= a
′
(t) + ia
′′
(t). Для действительных функций a
′
(t) и a
′′
(t) получаем
систему связанных уравнений
˙a
′
(t) +
δ +
ω
0
ε
4
a
′′
(t) = 0 ,
˙a
′′
(t) −
δ −
ω
0
ε
4
a
′
(t) = 0 .
(4)
Решение будем искать в виде a
′
(t), a
′′
(t) ∼ exp(λt), тогда из (4) следует
условие существования нетривиального решения в виде
λ δ + ω
0
ε/4
−δ + ω
0
ε/4 λ
= 0 .
или λ
1,2
= ±
q
(ω
0
ε/4)
2
−δ
2
. Для того, чтобы в системе возникла неустой-
чивость, необходимо, чтобы |λ| > γ. Граница зоны неустойчивости опре-
деляется уравнением γ
2
= (ω
0
ε/4)
2
− ε
2
или
(δ/ω
0
)
2
= (ε/4)
2
− 1/(2Q)
2
, (5)
На плоскости параметров (δ/ω
0
, ε) это гипербола, вершина которой на-
ходится в точке (0,2/Q) (см. рис. 2.8). Минимальное значение модуляции
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
