Составители:
Рубрика:
71
(черта обозначает операцию усреднения) и вычтем усредненное уравне-
ние из исходного. В результате получаем:
¨
ξ − ω
2
0
ξ = f(y + ξ, t) −
f(y + ξ, t) . (2)
Заметим, что на временах порядка τ величину y можно считать по-
стоянной. Используя это обстоятельство, в уравнении (1) правую часть
можно заменить на h(y) =
ξ ∂f/∂x, а в уравнении (2) — на f (y, t). Тогда
из (2), пренебрегая слагаемым, пропорциональным ω
2
0
(так как ω
0
≪ p),
получаем
¨
ξ
1
= f (y, t) = αyp
2
cos pt ,
откуда ξ ≈ ξ
1
= −αy cos pt. Вычисляя величину h(y), получаем, что
уравнение (1) приобретает вид:
¨y +
α
2
p
2
/2 − ω
2
y = 0 .
Из этого уравнения следует, что верхнее положение равновесия ста-
новится устойчивым при ap >
√
2lg.
2.5. Связанные колебания
80. ω
2
1
= 0,
X
1
= [1, 1, 1]
T
; ω
2
2
= k/m,
X
2
= [1, 0, 1]
T
; ω
2
3
= 2k/m,
X
3
= [1, −1, 1]
T
.
82. Так как считается, что колебания балки малы, а ее концы могут
смещаться только в вертикальном направлении, в системе существует
две собственные моды. Основная моды (с меньшей частотой) та кова,
что балка совершает только поступательное движение, так что смеще-
ния обоих концов балки в любой момент времени одинаковы. Собствен-
ная частота таких колебаний равна ω
1
=
p
k/M, а собственный вектор
X
1
= [1, 1]
T
. Для колебаний со второй собственной частотой центр
тяжести балки остается неподвижным, а балка совершает вращатель-
ное движение вокруг него. Собственная частота этих колебаний равна
ω
2
=
p
6k/M, а собственный вектор
X
2
= [1, −1]
T
. Используя эти све-
дения, законы движения концов балки можно выразить в матричном
виде:
x
1
(t)
x
2
(t)
=
X
1
(a
1
cos ω
1
t + a
2
sin ω
1
t) +
X
2
(b
1
cos ω
2
t + b
2
sin ω
2
t) .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
