Составители:
Рубрика:
72
Рис. 2.9. К решению задачи 83.
Коэффициенты a
1,2
и b
1,2
находим из начальных условий, откуда получа-
ем a
1
= b
1
= a/2, a
2
= b
2
= 0. Окончательно запишем законы смещения
концов балки во времени:
x
1
(t) =
a
2
cos
r
k
m
t + cos
r
6k
m
t
!
,
x
2
(t) =
a
2
cos
r
k
m
t − cos
r
6k
m
t
!
.
83. Система имеет три собственные моды. Две из них легко определить
из соображений симметрии. Мода с наименьшей собственной частотой
отвечает симметричному движению всех маятников, когда все пружинки
остаются ни сжатыми, ни растянутыми. Частота этой моды ω
1
=
p
g/l,
а собственный вектор
X
1
= [1, 1, 1]
T
. Вторая мода такова, что средний
маятник остается неподвижным а крайние совершают колебания с ча-
стотой ω
2
=
p
g/l + k/m в противофазе друг другу. Собственный вектор
для этой моды
X
2
= [1, 0, −1]
T
.
Оставшуюся моду определим из следующих соображений. Предполо-
жим, что мы закрепили пружинки в точках A и B (см. рис. 2.9), кото-
рые делят их в пропорции 1/2 ( длинные участки ближе к центральному
маятнику). Тогда легко проверить, что получившиеся три несвязанных
осциллятора имеют одну и ту же частоту собственных колебаний ω
2
=
=
p
g/l + 3k/m. Это и есть частота третьей собственной моды. Чтобы
возбудить ее в чистом виде, необходимо задать такие начальные сме-
щения маятников, чтобы точки A и B в процессе колебаний оставались
неподвижными. Очевидно, что это будет так, если задать, например,
x
1
(0) = x
3
(0) = −2x
2
(0). Поэтому
X
3
= [1, −2, 1]
T
.
84. Воспользуемся общим методом расчета собственных типов колеба-
ний в цепочке связанных осцилляторов, который применим также для
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
