Составители:
Рубрика:
88
Разложим функцию ω(k) в ряд Тейлора вблизи точки k
0
с учетом квад-
ратичного члена разложения: ω(k) = ω(k
0
) + ω
′′
(k
0
)(k − k
0
)
2
/2 + . . . .
Подставив это выражение в предыдущую формулу, получаем:
f(x, t) = e
i(ω
0
t−k
0
x)
1
2π
∞
Z
−∞
e
i[ω
′′
(k
0
)(k−k
0
)
2
t/2−(k−k
0
)x]
F (k)dk =
= e
i(ω
0
t−k
0
x)
F (x, t) ,
ω
0
= ω(k
0
). Для огибающей F (x, t) можно получить дифференциальное
уравнение, описывающее ее динамику в пространстве и во времени. Для
этого вычислим следующие производные:
∂F
∂t
=
iω
′′
(k
0
)
2
1
2π
∞
Z
−∞
(k −k
0
)
2
e
i[ω
′′
(k
0
)(k−k
0
)
2
t/2−(k−k
0
)x]
F (k)dk ,
∂
2
F
∂x
2
= −
1
2π
∞
Z
−∞
(k − k
0
)
2
e
i[ω
′′
(k
0
)(k−k
0
)
2
t/2−(k−k
0
)x]
F (k)dk .
Интегралы в правых частях этих формул одинаковы, исключая их, по-
лучаем искомое уравнение для F (x, t):
∂F
∂t
+ i
ω
′′
(k
0
)
2
∂
2
F
∂x
2
= 0 .
Это параболическое уравнение, описывающее распространение волново-
го пакета в среде с квадратичным законом дисперсии. В частности, это
уравнение совпадает с уравнением Шредингера для свободной частицы
в нерелятивистской квантовой механике. Если ввести “мнимое время”
τ = i sign(ω
′′
(k
0
))t, то параболическое уравнение переходит в уравнение
теплопроводности:
∂F
∂τ
+
|ω
′′
(k
0
)|
2
∂
2
F
∂x
2
= 0 .
Если характерный пространственный масштаб для начального профиля
огибающей ∆x ∼ 1/∆k, то характерное время ее изменения равно ∆t ∼
(∆x)
2
/|ω
′′
(k
0
)| ∼ (|ω
′′
(k
0
)|(∆k)
2
)
−1
≪ 1/ω
0
. Отсюда следует ω
0
∆t ≪
1, то есть огибающая медленно меняется во времени по сравнению с
высокочастотным заполнением.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
