Составители:
Рубрика:
87
Условие, что волновой пакет является узким означает, что функция F (k)
заметно отлична от нуля только при |k −k
0
| ≪ ∆k. Разложим функцию
ω(k) вблизи точки k
0
в ряд Тейлора:
ω(k) = ω(k
0
) + ω
′
(k
0
)(k − k
0
) + ω
′′
(k
0
)(k − k
0
)
2
/2 + . . .
и ограничимся только двумя первыми членами разложения, предпола-
гая, что на отрезке шириной порядка ∆k вблизи k
0
достаточно хорошо
работает линейная аппроксимация для дисперсии. Тогда
f(x, t) =
1
2π
e
i(ω(k
0
)t−k
0
x)
∞
Z
−∞
F (k) e
−i(k−k
0
)[x−w
′
(k
0
)t]
dk =
= e
i[ω(k
0
)t−k
0
x]
F [x − ω
′
(k
0
)t] .
Таким образом, для узкого спектрального волнового пакета решение
представляется в виде произведения огибающей, которая распростра-
няется не изменяя своей формы с групповой скоростью v
гр
= ω
′
(k
0
), и
заполнения с частотой ω
0
= ω(k
0
) и скоростью v
ф
= ω
0
/k
0
.
Форму огибающей можно считать неизменной до тех пор, пока линей-
ная аппроксимация закона дисперсии остается справедливым. Это вы-
полняется на ограниченном интервале времени τ, пока
|ω
′′
(k
0
)|(∆k)
2
τ/2 ≪ 1. Отсюда τ ≪ [|ω
′′
(k
0
)|(∆k)
2
]
−1
.
111.
∂F
∂t
+ v
гр
∂F
∂x
= 0 ,
где v
гр
= ω
′
(k
0
).
112. Представим начальное возмущение в виде
f(x, 0) = F (x) = e
−ik
0
x
1
2π
∞
Z
−∞
e
−i(k−k
0
)x
F (k)dk ,
тогда эволюция пакета во времени будет описываться соотношением
f(x, t) = e
−ik
0
x
1
2π
∞
Z
−∞
e
i[ω(k)t−(k−k
0
)x]
F (k)dk .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
