Составители:
Рубрика:
96
Постоянную интегрирования, вообще говоря, произвольную функцию
времени, можно включить в определение ϕ, поэтому в уравнении (4)
она положена равной нулю.
Направим ось z вертикально вверх, а плоскость xy выберем совпада-
ющем с равновесной поверхностью жидкости. Пусть форма возмущен-
ной поверхности задается функцией η(x, y, t). Уравнение (4), записанное
для точек, лежащих на поверхности, принимает вид:
∂ϕ
∂t
z=η
+ gη = 0 . (5)
Продифференцируем это соотношение по времени, и, с учетом формулы
˙η =
∂ϕ
∂z
|
z=η
, получим
∂
2
ϕ
∂t
2
+ g
∂ϕ
∂z
z=η
= 0 .
Так как возмущение мало, можно считать, что это соотношение выпол-
няется и при z = 0, тогда вместе с уравнением (3), получаем систему
уравнений для линейных гравитационных волн на поверхности жидко-
сти:
∆ϕ = 0 , (6a)
∂
2
ϕ
∂t
2
+ g
∂ϕ
∂z
z=0
= 0 . (6b)
Уравнения (6) необходимо дополнить начальными условиями:
η(x, y, 0) = η
0
(x, y) ,
∂η
∂t
t=0
= 0 . (7)
Для решения нестационарной задачи (6)-(7) воспользуемся методом пре-
образования Лапласа [9]. Для этого умножим оба уравнения в (6) на
exp(−pt), где p — комплексный параметр с Re p > 0, и проинтегируем по
t от 0 до ∞:
∆ϕ
p
= 0 ,
g
∂ϕ
∂z
+ p
2
ϕ
p
z=0
=
∂ϕ
∂t
z=0,t=0
= −gη
0
(x, y) .
(8)
В последнем уравнении мы воспользовались соотношением (5), записан-
ным для z = 0. Функция ϕ
p
(x, y) зависит от p как от параметра. Так
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
