Составители:
Рубрика:
98
Из вида соотношения (10) следует, что функция (gk + p
2
)F (k, p) яв-
ляется преобразованием Фурье-Бесселя для −gη
0
(r). Поэтому можно за-
писать
ϕ
p
(r, z) =
∞
Z
0
−gη
0
(k)
p
2
+ gk
e
kz
J
0
(kr) k dk . (13)
Производя обратное преобразования Лапласа, получаем пространствен-
но - временную зависимость потенциала скорости:
ϕ(r, z, t) =
1
2πi
Z
L
e
pt
dp
∞
Z
0
−gη
0
(k)
p
2
+ gk
e
kz
J
0
(kr) k dk . (14)
Интегрирование в комплексной плоскости p производится по прямой L,
параллельной мнимой оси и лежащей справа от всех особых точек функ-
ции ϕ
p
(r, z).
Нас интересует в первую очередь динамика поверхности, т.е. функ-
ция η(r, t). Воспользовавшись уравнением (5) при z = 0 и переставив
порядок интегрирования, приходим к формуле
η(r, t) =
∞
Z
0
η
0
(k)J
0
(kr) k dk
1
2πi
Z
L
e
pt
p
p
2
+ gk
dp . (15)
Хорошо известно, что функция p/(p
2
+ a
2
) — это результат преобразо-
вания Лапласа для функции cos at, поэтому окончательно получаем
η(r, t) =
∞
Z
0
η
0
(k) J
0
(kr) cos[ω(k)t] J
0
(kr) k dk . (16)
Здесь ω(k) =
√
gk — уравнение дисперсии для гравитационных волн на
глубокой воде.
Формулу (16) можно получить менее строгим, но физически более
понятным способом, используя концепцию преобразования Фурье. Если
в одномерной линейной волновой системе с законом дисперсии ω(k) за-
дано начальное возмущение в виде гармонического сигнала exp(−ikx),
то его эволюция во времени описывается двумя волнами exp[i(ω(k)t −
−kx)] и exp[−i(ω(k)t + kx)], бегущими соответственно в положительном
и отрицательном направлении оси x. Существование двух волн с дис-
персиями ±ω(k) обусловлено симметрией системы относительно замены
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
