Составители:
Рубрика:
100
Аналогичное преобразование в формуле (18), приводит в точности к вы-
ражению (16). Таким образом, мы получили тот же результат, что и
методом преобразования Лапласа.
Формально задача решена, однако исследование распространения волн
с помощью формулы (16) сопряжено со значительными трудностями, так
как точное вычисление интеграла в большинстве случаев невозможно,
а его численный расчет при больших t требует очень больших затрат
вычислительных ресурсов. Связано это с тем, что функции cos[ω(k)t] и
J
0
(kr) при больших t и r быстро осциллируют.
Для приближенного вычисления интеграла преобразуем его к дру-
гому виду. Как будет показано ниже, при больших t основной вклад
в интеграл дает небольшая окрестность области интегрирования вбли-
зи точки, для которой kr ≫ 1. Поэтому можно представить функцию
Бесселя ее асимптотическим разложением при больших значениях аргу-
мента J
0
(x) ≈
p
2/(πx) cos(x −π/4). Подставим это разложение в (16) и
получим:
η(r, t) =
r
2
πr
∞
Z
0
η
0
(k)k
1/2
cos[ω(k)t] cos(kr − π/4) dk =
=
r
1
2πr
∞
Z
0
η
0
(k)k
1/2
{cos[ω(k)t − kr + π/4] + cos[ω(k)t + kr − π/4]}dk =
=
r
1
2πr
Re
e
iπ/4
∞
Z
0
η
0
(k)k
1/2
e
i[ω(k)t−kr]
dk +
+ e
−iπ/4
∞
Z
0
η
0
(k)k
1/2
e
−i[ω(k )t+kr]
dk
. (21)
Рассмотрим интеграл
I
1
=
∞
Z
0
η
0
(k)k
1/2
e
i[ω(k)t−kr]
dk . (22)
Метод приближенного вычисления интегралов такого типа был развит
Кельвином и впоследствии он получил название метода стационарной
фазы. Не вдаваясь в подробности, с которыми можно познакомится, на-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- …
- следующая ›
- последняя »
