Составители:
Рубрика:
102
Легко видеть, что второй интеграл в формуле (21) не имеет стационар-
ных точек, поэтому его вклад в общий результат мал по сравнению с
интегралом I. Таким образом, окончательно получаем
η(r, t) =
√
2
gt
2
4r
3
η
0
gt
2
4r
2
cos
gt
2
/4r
. (28)
Это выражение дает форму волнового импульса при больших r и t, та-
ких, что отношение r/t конечно.
Проведенное рассмотрение позволяет ввести очень полезную и эф-
фективную трактовку процессов, происходящих при распространении
импульсов в среде с дисперсией, называемую концепцией волновых паке-
тов. Если в начальный момент времени в среде создано локализованное в
пространстве возмущение, то дальше распространение волн происходит
следующим образом. Фурье гармоники с волновыми числами, лежащими
вблизи некоторого k
0
, скажем от k
0
−∆k/2 до k
0
+∆k/2, где ∆k ≪ k
0
, со-
ставляют волновой пакет, который распространяется в пространстве на
большие расстояния с групповой скоростью ω
′
(k
0
), примерно сохраняя
форму огибающей. Через достаточно большое время волновые пакеты
убегают от первоначального места возмущения и ”разъезжаются” в про-
странстве, так как их скорости различаются. В момент времени t в точке
r волновое поле определяется пакетом с волновым числом, задаваемым
уравнением (26), а вклад других волновых чисел мал. Фаза возмуще-
ния в этой точке может быть определена как Φ(r, t) = ω(k
0
)t − k
0
r, а
амплитуда задается амплитудой Фурье-гармоники начального возмуще-
ния с волновым числом k
0
. Здесь необходимо, однако, учесть дисперсию
групповой скорости: две крайние спектральные составляющие волнового
пакета имеют групповые скорости, отличающиеся на ω
′′
(k
0
)∆k, поэтому
размер пространственной области, в которой сосредоточена энергия па-
кета увеличивается со временем как |ω
′′
(k
0
)|∆t, плотность энегии пакета
падает обратно пропорционально этой величине, а амплитуда получает
дополнительный множитель 1/
p
|ω
′′
(k
0
)|t.
Нетрудно видеть, что эти соображения напрямую приводят к форму-
ле (25), за исключением фазового множителя ±π/4, определение кото-
рого требует более тщательного анализа, сводящегося, по сути, к методу
стационарной фазы. В случае, если задача многомерная, необходимо сде-
лать поправку в амплитудном множителе, учитывающую расплывание
волнового пакета по нескольким направлениям.
Детальная картина волн зависит, разумеется, от вида начальной функ-
ции η
0
(r). Однако некоторые общие закономерности можно выявить из
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- …
- следующая ›
- последняя »
