Линейные колебания и волны: Сборник задач. Трубецков Д.И - 101 стр.

UptoLike

Рубрика: 

101
пример, по книге [11], приведем лишь основной результат: интеграл вида
I(t) =
b
Z
a
F (k)e
itΨ(k)
dk , (23)
где F (k) и Ψ(k) действительные функции, a и b конечные или беско-
нечные пределы интегрирования, при t имеет следующие оценки:
если уравнение
Ψ
(k) = 0 (24)
имеет корень k
, a < k
< b, то для интеграла (23) справедлива оценка
I(t)
s
2π
|Ψ
′′
(k
)|t
F (k
) e
i[tΨ(k
)±π/4]
; (25)
плюс в экспоненте выбирается, если Ψ
′′
(k
) > 0 и минус, если Ψ
′′
(k
) < 0.
Если k
совпадает с одним из концов интегрирования, то следует взять
половину выражения (25) . Если в интервале интегрирования у уравне-
ния (24) действительных корней нет, то интеграл стремится к нулю по
крайней мере, как O(1/t). Если пределы интегрирования бесконечны и
уравнение (24) не имеет действительных корней, то интеграл экспонен-
циально мал: I(t) exp(βt), β > 0. Точка k = k
называется стацио-
нарной.
Применим эти результаты к интегралу (22). Здесь Ψ(k) = ω(k)kr/t,
уравнение для стационарной точки имеет вид
ω
(k) = v
гр
(k) = r/t . (26)
Для волн на глубокой воде ω =
gk, поэтому v
гр
(k) =
p
g/(4k), стаци-
онарная точка определяется выражением k
= gt
2
/(4r
2
). Отсюда фаза
волны
Φ(r, t) = tΨ(k
) = ω(k
)t k
r =
gt
2
4r
. (27)
Кроме того, Ψ
′′
(k
) = ω
′′
(k
) = 2r
3
/(gt
3
) < 0. Используя все эти соот-
ношения, получаем, что интеграл I(t) приближенно равен
I
1
r
π
r
gt
2
2r
2
η
0
gt
2
4r
2
e
i(gt
2
/4rπ/4)
.