Составители:
Рубрика:
99
знака времени t → −t. Если в системе существует несколько ветвей дис-
персионной характеристики, то они обязательно входят в полный спектр
парами, отличающимися знаком частоты. В этом случае полное возму-
щение получается суммированием по всем таким ветвям, чтобы удовле-
творить всем начальным и граничным условиям.
Если ветвь дисперсионного уравнения всего одна, как в нашем слу-
чае, для произвольного начального возмущения получаем
η(x, t) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
1
2
h
A(k)e
iω(k)t
+ B(k)e
−iω(k)t
i
e
−ikx
dk , (17)
где функции A(k) и B(k) определяются начальными условиями.
Обобщение этого выражения на двумерных случай очевидно:
η(x, y, t) =
1
2π
∞
ZZ
−∞
1
2
h
A(k
x
, k
y
)e
iω(k)t
+
+ B(k
x
, k
y
)e
−iω(k)t
i
e
−i(k
x
x+k
y
y
dk
x
dk
y
, (18)
Из начальных условий (7) вытекает, что
A(k
x
, k
y
) = B(k
x
, k
y
) = η
0
(k
x
, k
y
) =
1
2π
∞
ZZ
−∞
η
0
e
i(k
x
k+k
y
y )
dx dy . (19)
Функция η
0
(k
x
, k
y
) является двумерным Фурье-образом начального воз-
мущения η
0
(x, y). В аксиально симметричном случае, когда поле зависит
только от радиальной координаты r =
p
x
2
+ y
2
, в выражениях (18) и
(19) можно перейти к интегрированию в полярной системе координат.
Например для (19) это дает
η
0
(k) =
∞
Z
0
η
0
(r)r dr
1
2π
2π
Z
0
e
ikr cos θ
dθ =
∞
Z
0
η(r)J
0
(kr) r dr . (20)
Здесь k =
q
k
2
x
+ k
2
y
, θ — угол между векторами k и r, кроме того, мы
воcпользовались интегральным представлением функции Бесселя:
J
0
(x) =
1
2π
2π
Z
0
e
ikr cos θ
dθ .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
