Составители:
Рубрика:
97
как начальное возмущение η
0
(x, y) обладает аксиальной симметрией, то
оно, вместе со всеми остальными функциями координат, на самом деле
зависит от r =
p
x
2
+ y
2
.
Решение первого уравнения в (8) ищем в виде
ϕ
p
(r) =
∞
Z
0
e
kz
J
0
(kr)F (k, p) k dk , (9)
где J
0
(kr) — функция Бесселя. Прямая проверка показывает, что для
каждого k функция e
kz
J
0
(kr) является решением уравнения Лапласа,
значит ему удовлетворяет и интеграл в (9). Интегрирование только по
положительным значениям k удовлетворяет граничному условию на бес-
конечности: возмущения должны затухать вглубь жидкости при
z → −∞. Подставляя (9) во второе уравнение (8), получим:
∞
Z
0
gk + p
2
F (k, p)J
0
(kr) k dk = −gη
0
(r) . (10)
Это интегральное у равнение относительно функции F (k, p) можно ре-
шить с помощью преобразования Фурье - Бесселя [10]. Преобразование
Фурье - Бесселя для действительной функции η
0
(r) ставит ей в соответ-
ствие функцию η
0
(k) по формуле
η
0
(k) =
∞
Z
0
η
0
(r)J
m
(kr) r dr , (11)
где J
m
(kr) — функция Бесселя порядка m. Справедливо также обратное
преобразование
η
0
(r) =
∞
Z
0
η
0
(k)J
m
(kr) k dk , (12)
Соотношения (11)-(12) выполняются, если функция η
0
(r) удовлетворяет
некоторым достаточно слабым условиям [10]. В частности, они справед-
ливы, если функция η(r) непрерывна и интеграл
∞
R
0
|η
0
(r)|dr существует,
что мы будем предполагать выполненным.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
