Составители:
Рубрика:
103
Рис. 2.19. Начальное возмущение и его спектральная
плотность
анализа выражения (28) при самых общих предположениях относитель-
но свойств начальной функции. Как уже говорилось, характерных мас-
штаб ее изменения составляет порядка d — размера камня, поэтому пред-
положим, что качественный вид этой функции таков, как показано на
рис. 2.19,а. Свойства преобразования Фурье-Бесселя приводят к тому,
что образ этой функции качественно выглядит так, как показано на
рис. 2.19,б. Отсюда следует, что функция η
0
(k) заметно отличается от
нуля при k . 1/d. Поэтому, если gt
2
/4r
2
& 1/d (см. аргумент функции η
0
в (28)), то поле близко к нулю. Это требование определяет внутренний
радиус кольца на поверхности воды, в пределах которого сосредоточено
возмущение: r
1
∼
√
gdt/2. Видно, что этот радиус линейно увеличивает-
ся с течением времени, его скорость равна по порядку величины
√
gd/2.
Фаза поля (27) при фиксированном времени уменьшается с ростом
r, и при Φ ∼ 1 расположен первый горб возмущения: для того, чтобы
были пространственные колебания, фаза должна меняться на величину
порядка 2π, при Φ ≪ 1 колебаний нет. Положение этого горба определя-
ется формулой r
2
∼ gt
2
/4, он движется с ускорением g/2. На самом деле
из (28) следует, что амплитуда этого горба очень быстро оказывается
настолько малой, что он становится практически незаметным. Затем то
же самое происходит со следующим горбом, и т.д. Каждый горб движет-
ся с локальной фазовой скоростью, которая вдвое превышает групповую
скорость пакета. Отдельные горбы рождаются вблизи внутренней грани-
цы круга, пробегают по области возмущения и, постепенно уменьшаясь
по амплитуде, исчезают вблизи внешней границы области. В фиксиро-
ванным момент времени при увеличении радиуса значение локального
волнового числа уменьшается, следовательно длина волн растет. Поэто-
му ширина горбов увеличивается по мере того, как он продвигается от
внутренней границы области возмущения к внешней. Картина такого
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- …
- следующая ›
- последняя »
