Составители:
Рубрика:
114
в котором слагаемое с первой производной от y(t) по времени отсутству-
ет. Таким образом, в наиболее общем случае линейное дифференциаль-
ное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами можно
привести к канонической форме:
¨x(t) + ω
2
(t)x(t) = 0 . (7.7)
Это уравнение будет основным объектом исследования в данной главе.
С физической точки зрения наибольший интерес представляют такие
системы, которые в некотором смысле близки по своим свойствам к гар-
моническому осциллятору. Так происходит, если ω(t) - функция, близкая
к константе, тогда в нулевом приближении можно считать, что в системе
существуют колебания с периодом 2π/ω(t). Свойства системы оказывают-
ся существенно зависящими от соотношения двух характерных времен-
ных масштабов: периода колебаний и характерного времени изменения
функции ω(t), назовем его τ. Можно выделить три случая:
1) Оба временных масштаба имеют один порядок, т.е. τ ∼ 2π/ω(t).
При этом говорят о параметрических колебаниях. Наиболее ва-
жен случай, когда ω(t) — периодическая функция c периодом T , то-
гда возможно возникновение параметрической неустойчивости, ко-
гда малое начальное отклонение системы от положения равновесия
будет приводить к нарастанию колебаний. Именно это происходит
при раскачивании качелей.
2) Функция ω(t) мало меняется за время одного колебания, т. е. τ
2π/ω(t). Это соответствует адиабатически медленному изменению
параметров системы.
3) Параметры системы меняются значительно быстре е, чем характер-
ный период колебаний осциллятора. В этом случае также возможны
интересные физические эффекты, связанные с дополнительной си-
лой, возникающей за счет эффекта усреднения быстрых колебаний
в неоднородных пространственных полях.
Анализу всех этих ситуаций посвящена настоящая глава.
§ 2. Параметрическая неустойчивость
Пусть квадрат частоты осциллятора в уравнении (7.7) можно пред-
ставит ь в виде ω
2
(t) = ω
2
0
f(t), где f (t + T ) = f(t), f(t) — безразмерная
периодическая функция, которую мы будем считать мало уклоняющейся
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- …
- следующая ›
- последняя »
